Упр.42.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) Найдите, на каком промежутке функция у = log3 x принимает наибольшее значение,
равное 4, и наименьшее, равное -2.
б) Найдите, на каком промежутке функция у = log0,5 x принимает наибольшее значение,
равное —1, и наименьшее, равное -3.

Подробный ответ

а) Функция $$y=\log_3 x$$ возрастает, так как $$3>1$$. Поэтому значения функции на промежутке можно задать неравенством:

$$-2 \le \log_3 x \le 4$$

Так как логарифмическая функция возрастает, получаем:

$$3^{-2} \le x \le 3^4$$

$$\frac{1}{9} \le x \le 81$$

Значит, на промежутке $$\left[\frac{1}{9};\,81\right]$$ функция $$y=\log_3 x$$ принимает наибольшее значение $$4$$ и наименьшее значение $$-2$$.

б) Функция $$y=\log_{0,5} x$$ убывает, так как $$0,5<1$$. Поэтому при переходе к аргументу знак неравенства меняется:

$$-3 \le \log_{0,5} x \le -1$$

$$0,5^{-3} \ge x \ge 0,5^{-1}$$

То есть

$$8 \ge x \ge 2$$