Упр.42.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) У = log3 x, [1/3; 9];
б) У = log1/2 x, [1/8; 16];
в) y = lg x, [1; 1000];
г) y = log2/3 х, [8/27; 81/16].

Подробный ответ

а) $$y=\log_3 x,\quad \left[\frac13;9\right]$$
Так как $$3>1,$$ функция возрастает на своей области определения. Значит, наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой:
$$y_{\min}=y\left(\frac13\right)=\log_3\frac13=\log_3 3^{-1}=-1,$$
$$y_{\max}=y(9)=\log_3 9=\log_3 3^2=2.$$
б) $$y=\log_{\frac12} x,\quad \left[\frac18;16\right]$$
Так как $$\frac12<1,$$ функция убывает. Поэтому наименьшее значение достигается в правой границе, а наибольшее — в левой:
$$y_{\min}=y(16)=\log_{\frac12}16=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-4}=-4,$$
$$y_{\max}=y\left(\frac18\right)=\log_{\frac12}\frac18=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^3=3.$$
в) $$y=\lg x,\quad [1;1000]$$
Так как $$10>1,$$ функция возрастает. Тогда:
$$y_{\min}=y(1)=\lg 1=0,$$
$$y_{\max}=y(1000)=\lg 1000=\lg 10^3=3.$$
г) $$y=\log_{\frac23} x,\quad \left[\frac{8}{27};\frac{81}{16}\right]$$
Так как $$\frac23<1,$$ функция убывает. Следовательно:
$$y_{\min}=y\left(\frac{81}{16}\right)=\log_{\frac23}\frac{81}{16}=\log_{\frac23}\left(\frac23\right)^{-4}=-4,$$
$$y_{\max}=y\left(\frac{8}{27}\right)=\log_{\frac23}\frac{8}{27}=\log_{\frac23}\left(\frac23\right)^3=3.$$