Упр.42.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

функции лежит ниже графика заданной линейной функции:
а) у = log4 (х — 1), у = -х + 2;
б) у = log1/2 (x + 4), у = Зх — 2?

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$y=\log_4(x-1)$$ и $$y=-x+2.$$

Область определения логарифмической функции: $$x>1.$$

Найдём точку пересечения графиков:

$$\log_4(x-1)=-x+2.$$

Проверим значение $$x=2$$:

$$\log_4(2-1)=\log_4 1=0,$$
$$-2+2=0.$$

При $$x\to 1+$$ имеем $$\log_4(x-1)\to -\infty,$$ а $$-x+2\to 1,$$ значит слева от точки пересечения логарифмический график ниже линейного. Так как $$\log_4(x-1)$$ возрастает, а $$-x+2$$ убывает, то это верно на всём промежутке между границами области определения и точкой пересечения.

$$x\in(1;2).$$

б) Рассмотрим функции $$y=\log_{\frac12}(x+4)$$ и $$y=3x-2.$$

Область определения: $$x>-4.$$

Найдём точку пересечения графиков:

$$\log_{\frac12}(x+4)=3x-2.$$

Проверим значение $$x=0$$:

$$\log_{\frac12}(0+4)=\log_{\frac12}4=-2,$$
$$3\cdot 0-2=-2.$$

Функция $$y=\log_{\frac12}(x+4)$$ убывает на $$(-4;+\infty),$$ и функция $$y=3x-2$$ возрастает на $$(-4;+\infty).$$ Значит, до точки пересечения логарифмический график расположен ниже линейного, а после неё — выше.

$$x\in(-4;0).$$