Упр.42.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) log3 x < 4 - х;
б) log1/2 x < х + 1/2;
в) log5 x > = 6 — х;
г) log1/3 х > х + 2/3.
а) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_3 x$$ и $$g(x)=4-x.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, они пересекаются не более чем в одной точке.
Найдём точку пересечения:
$$\log_3 x=4-x$$
При $$x=3$$ получаем:
$$\log_3 3=1,\qquad 4-3=1.$$
Следовательно, точка пересечения — $$x=3$$. Тогда
$$0<x\le 3.$$
б) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac12} x$$ и $$g(x)=x+\frac12.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает, значит, они пересекаются не более чем в одной точке.
Найдём точку пересечения:
$$\log_{\frac12} x=x+\frac12$$
При $$x=\frac12$$ получаем:
$$\log_{\frac12}\frac12=1,\qquad \frac12+\frac12=1.$$
Следовательно,
$$x>\frac12.$$
в) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_5 x$$ и $$g(x)=6-x.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, они пересекаются не более чем в одной точке.
Найдём точку пересечения:
$$\log_5 x=6-x$$
При $$x=5$$ получаем:
$$\log_5 5=1,\qquad 6-5=1.$$
Следовательно,
$$x\ge 5.$$
г) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac13} x$$ и $$g(x)=x+\frac23.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает, значит, они пересекаются не более чем в одной точке.
Найдём точку пересечения:
$$\log_{\frac13} x=x+\frac23$$
При $$x=\frac13$$ получаем:
$$\log_{\frac13}\frac13=1,\qquad \frac13+\frac23=1.$$
Следовательно,
$$0<x<\frac13.$$
Ответ
а) $$0<x\le 3$$; б) $$x>\frac12$$; в) $$x\ge 5$$; г) $$0<x<\frac13$$.
