Упр.42.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = 3log4 x;
б) у = 2log1/3 x;
в) у = 5log8 x;
г) У = 1/2log0,5 x.

1. Для функций вида $$y=k\log_a x$$ сначала строим график $$y=\log_a x$$, а затем выполняем вертикальное растяжение или сжатие в $$|k|$$ раз.

2. Во всех пунктах область определения одна и та же:

   $$x>0$$

   Вертикальная асимптота: $$x=0$$.

3. Опорная точка графика: при $$x=1$$ имеем $$\log_a 1=0$$, значит, все графики проходят через точку $$\left(1;0\right)$$.

4. Направление монотонности зависит от основания:

   • если $$a>1$$, функция возрастает;
   • если $$0<a<1$$, функция убывает.

а) $$y=3\log_4 x$$

График $$y=\log_4 x$$ растягиваем в 3 раза вдоль оси $$Oy$$. Так как $$4>1$$, функция возрастает.

б) $$y=2\log_{\frac13} x$$

График $$y=\log_{\frac13} x$$ растягиваем в 2 раза вдоль оси $$Oy$$. Так как $$0<\frac13<1$$, функция убывает.

в) $$y=5\log_8 x$$

График $$y=\log_8 x$$ растягиваем в 5 раз вдоль оси $$Oy$$. Так как $$8>1$$, функция возрастает.

г) $$y=\frac12\log_{0,5} x$$

График $$y=\log_{0,5} x$$ сжимаем в 2 раза к оси $$Ox$$. Так как $$0,5<1$$, функция убывает.

Во всех пунктах область значений:

$$y\in \mathbb{R}$$

Ответ

а) $$y=3\log_4 x$$ — график $$y=\log_4 x$$, растянутый в 3 раза вдоль оси $$Oy$$;
б) $$y=2\log_{\frac13} x$$ — график $$y=\log_{\frac13} x$$, растянутый в 2 раза вдоль оси $$Oy$$;
в) $$y=5\log_8 x$$ — график $$y=\log_8 x$$, растянутый в 5 раз вдоль оси $$Oy$$;
г) $$y=\frac12\log_{0,5} x$$ — график $$y=\log_{0,5} x$$, сжатый в 2 раза к оси $$Ox$$.