Упр.41.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 4^x — 5 * 2^x > = -6;
б) 16^x < = 6 * 4^x - 5; в) 9^x - 7 * 3^x < -12; г) 9 * 7^x + 14 > -49^x.

1. $$4^x-5\cdot 2^x\ge -6$$

   $$2^{2x}-5\cdot 2^x+6\ge 0$$

   Пусть $$y=2^x,\; y>0$$. Тогда

   $$y^2-5y+6\ge 0$$

   $$ (y-2)(y-3)\ge 0 $$

   Отсюда $$y\le 2$$ или $$y\ge 3$$. С учётом $$y>0$$ получаем

   $$2^x\le 2 \quad \text{или} \quad 2^x\ge 3$$

   $$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge \log_2 3$$

2. $$16^x\le 6\cdot 4^x-5$$

   $$4^{2x}-6\cdot 4^x+5\le 0$$

   Пусть $$y=4^x,\; y>0$$. Тогда

   $$y^2-6y+5\le 0$$

   $$ (y-1)(y-5)\le 0 $$

   Отсюда $$1\le y\le 5$$, значит

   $$1\le 4^x\le 5$$

   $$0\le x\le \log_4 5$$

3. $$9^x-7\cdot 3^x<-12$$

   $$3^{2x}-7\cdot 3^x+12<0$$

   Пусть $$y=3^x,\; y>0$$. Тогда

   $$y^2-7y+12<0$$

   $$ (y-3)(y-4)<0 $$

   Отсюда $$3<y<4$$, значит

   $$3<3^x<4$$

   $$1<x<\log_3 4$$

4. $$9\cdot 7^x+14>-49^x$$

   $$49^x+9\cdot 7^x+14>0$$

   $$7^{2x}+9\cdot 7^x+14>0$$

   Пусть $$y=7^x,\; y>0$$. Тогда

   $$y^2+9y+14>0$$

   $$ (y+7)(y+2)>0 $$

   При $$y>0$$ это неравенство выполняется всегда, значит решение — все действительные числа.

Ответ

а) $$x\in(-\infty;1]\cup[\log_2 3;+\infty)$$;
б) $$x\in[0;\log_4 5]$$;
в) $$x\in(1;\log_3 4)$$;
г) $$x\in(-\infty;+\infty)$$.