Упр.40.67 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2x + 2 — x^2 > = 3^(x^2 — 2x + x);
б) 2^(x^2 — 4x + 5) > = 4x — 2 — x^2.

а) Обозначим $$t=x^2-2x.$$ Тогда неравенство примет вид

$$2-t\ge 3^{t+2}.$$

Рассмотрим функции $$f(t)=2-t$$ и $$g(t)=3^{t+2}.$$ Первая убывает, вторая возрастает, значит, достаточно найти точку их пересечения:

$$2-t=3^{t+2}.$$

Проверим значение $$t=-1$$:

$$2-(-1)=3,\qquad 3^{-1+2}=3.$$

Следовательно, при $$t\le -1$$ неравенство выполняется. Возвращаемся к замене:

$$x^2-2x\le -1,$$

$$x^2-2x+1\le 0,$$

$$\left(x-1\right)^2\le 0.$$

Квадрат неотрицателен, поэтому возможно только

$$x-1=0,$$

то есть $$x=1.$$

б) Обозначим $$t=x^2-4x.$$ Тогда неравенство примет вид

$$2^{t+5}\ge -t-2.$$

Рассмотрим функции $$f(t)=2^{t+5}$$ и $$g(t)=-t-2.$$ Первая возрастает, вторая убывает, значит, достаточно найти точку их пересечения:

$$2^{t+5}=-t-2.$$

Проверим значение $$t=-4$$:

$$2^{-4+5}=2,\qquad -(-4)-2=2.$$

Следовательно, при $$t\ge -4$$ неравенство выполняется. Возвращаемся к замене:

$$x^2-4x\ge -4,$$

$$x^2-4x+4\ge 0,$$

$$\left(x-2\right)^2\ge 0.$$

Это верно при любом $$x\in\mathbb{R}.$$

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x\in(-\infty;+\infty).$$