Упр.40.65 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (2^x — 8)(3^x — 81) < 0; б) (3^(x + 2) - 1/27)(5^(3 - 2x) - 0,2) > = 0.

а) $$\left(2^x-8\right)\left(3^x-81\right)<0$$

Представим числа в виде степеней:

$$8=2^3,\qquad 81=3^4.$$

Тогда

$$\left(2^x-2^3\right)\left(3^x-3^4\right)<0.$$

Так как функции $$2^x$$ и $$3^x$$ возрастают, то знаки множителей меняются при

$$x=3 \quad \text{и} \quad x=4.$$

Произведение отрицательно между корнями:

$$3<x<4.$$

б) $$\left(3^{x+2}-\frac{1}{27}\right)\left(5^{3-2x}-0{,}2\right)\ge 0$$

Запишем числа в виде степеней:

$$\frac{1}{27}=3^{-3},\qquad 0{,}2=\frac{1}{5}=5^{-1}.$$

Тогда

$$\left(3^{x+2}-3^{-3}\right)\left(5^{3-2x}-5^{-1}\right)\ge 0.$$

Найдём нули множителей:

$$3^{x+2}=3^{-3}\Rightarrow x+2=-3\Rightarrow x=-5,$$

$$5^{3-2x}=5^{-1}\Rightarrow 3-2x=-1\Rightarrow x=2.$$

Обе функции возрастают, поэтому знак произведения неотрицателен на промежутке между корнями и на самих корнях:

$$-5\le x\le 2.$$

Ответ

а) $$x\in(3;4)$$

б) $$x\in[-5;2]$$