Упр.40.64 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (x — 6)(5^(x — 6) — 25) < 0; б) (2x + 1)(3^(3 - x) - 9) > 0.

а) $$\left(x-6\right)\left(5^{x-6}-25\right)<0$$

Представим число $$25$$ как степень пятёрки:

$$25=5^2$$

Тогда

$$\left(x-6\right)\left(5^{x-6}-5^2\right)<0$$

Так как функция $$5^t$$ возрастает, то

$$5^{x-6}-5^2<0 \iff x-6<2 \iff x<8.$$

Нули множителей:

$$x-6=0 \Rightarrow x=6,$$

$$5^{x-6}-25=0 \Rightarrow 5^{x-6}=25=5^2 \Rightarrow x=8.$$

Произведение отрицательно между корнями:

$$6<x<8.$$

б) $$\left(2x+1\right)\left(3^{3-x}-9\right)>0$$

Представим число $$9$$ как степень тройки:

$$9=3^2$$

Тогда

$$\left(2x+1\right)\left(3^{3-x}-3^2\right)>0$$

Нули множителей:

$$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12,$$

$$3^{3-x}-9=0 \Rightarrow 3^{3-x}=3^2 \Rightarrow 3-x=2 \Rightarrow x=1.$$

Так как функция $$3^t$$ возрастает, то

$$3^{3-x}-9>0 \iff 3-x>2 \iff x<1.$$

Произведение положительно между корнями:

$$-\frac12<x<1.$$

Ответ

а) $$x\in(6;8)$$; б) $$x\in\left(-\frac12;1\right)$$.