Упр.40.62 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2^(6x — 10) — 9 * 2^(3x — 5) + 8 < = 0; б) 5^(2x + 1) - 5^(x + 2) < = 5^x - 5; в) 3^(8x + 6) - 10 * 3^(4x + 3) + 9 > = 0;
г) 3^(2x + 2) — 3^(x + 4) < 3^x - 9.

1. а) $$2^{6x-10}-9\cdot 2^{3x-5}+8\le 0$$

   Сделаем замену: $$t=2^{3x-5}$$, тогда $$t^2-9t+8\le 0$$.

   $$t^2-9t+8=(t-1)(t-8)\le 0,$$
   значит,
   $$1\le t\le 8.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$1\le 2^{3x-5}\le 8=2^3,$$
   откуда
   $$0\le 3x-5\le 3.$$

   $$5\le 3x\le 8,$$
   $$\frac{5}{3}\le x\le \frac{8}{3}.$$

2. б) $$5^{2x+1}-5^{x+2}\le 5^x-5$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$5^{2x+1}-5^{x+2}-5^x+5\le 0.$$

   Сделаем замену: $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и

   $$5t^2-26t+5\le 0.$$

   $$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=576,$$
   $$t_1=\frac{26-24}{10}=\frac15,\quad t_2=\frac{26+24}{10}=5.$$

   $$\left(t-\frac15\right)(t-5)\le 0,$$
   значит,
   $$\frac15\le t\le 5.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$\frac15\le 5^x\le 5,$$
   $$5^{-1}\le 5^x\le 5^1,$$
   $$-1\le x\le 1.$$

3. в) $$3^{8x+6}-10\cdot 3^{4x+3}+9\ge 0$$

   Сделаем замену: $$t=3^{4x+3}$$, тогда

   $$t^2-10t+9\ge 0.$$

   $$t^2-10t+9=(t-1)(t-9)\ge 0,$$
   значит,
   $$t\le 1 \text{ или } t\ge 9.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$3^{4x+3}\le 1=3^0 \quad \text{или} \quad 3^{4x+3}\ge 9=3^2.$$

   $$4x+3\le 0 \quad \text{или} \quad 4x+3\ge 2,$$
   откуда
   $$x\le -\frac34 \quad \text{или} \quad x\ge -\frac14.$$

4. г) $$3^{2x+2}-3^{x+4}<3^x-9$$

   Перенесём всё влево:

   $$3^{2x+2}-3^{x+4}-3^x+9<0.$$

   Сделаем замену: $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и

   $$9t^2-82t+9<0.$$

   $$D=82^2-4\cdot 9\cdot 9=6400,$$
   $$t_1=\frac{82-80}{18}=\frac19,\quad t_2=\frac{82+80}{18}=9.$$

   $$\left(t-\frac19\right)(t-9)<0,$$ значит, $$\frac19

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$\frac19<3^x<9=3^2,$$ $$3^{-2}<3^x<3^2,$$ $$-2

Ответ

а) $$x\in\left[\frac53;\frac83\right]$$;
б) $$x\in[-1;1]$$;
в) $$x\in(-\infty;-\frac34]\cup[-\frac14;+\infty)$$;
г) $$x\in(-2;2)$$.