Упр.40.54 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) 19^((2x — 3) / (x + 2)) > = 1;
б) 0,36^((7x + 1) / (2 — x)) < 1;
в) 37^((5x - 9) / (x + 6)) < = 1;
г) (29/30)^((9x - 18) / (6 - x)) > 1.
Используем свойство показательной функции: если основание больше 1, то
$$a^t \ge 1 \iff t \ge 0,\qquad a^t < 1 \iff t < 0.$$
$$19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 1$$
Так как $$19>1,$$ получаем
$$\frac{2x-3}{x+2} \ge 0.$$
Критические точки: $$x=-2,\; x=\frac32.$$
По знакам дроби:
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x\ge \frac32.$$
С учётом ОДЗ $$x\ne -2$$:
$$x\in(-\infty;-2)\cup\left[\frac32;+\infty\right).$$
$$0{,}36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1$$
Так как $$0<0{,}36<1,$$ то показатель должен быть положительным:
$$\frac{7x+1}{2-x} > 0.$$
Перепишем:
$$\frac{7x+1}{x-2} < 0.$$
Критические точки: $$x=-\frac17,\; x=2.$$
По знакам дроби:
$$-\frac17 \le x < 2.$$
Значит,
$$x\in\left[-\frac17;2\right).$$
$$37^{\frac{5x-9}{x+6}} \le 1$$
Так как $$37>1,$$ получаем
$$\frac{5x-9}{x+6} \le 0.$$
Критические точки: $$x=-6,\; x=\frac95=1{,}8.$$
По знакам дроби:
$$-6<x\le 1{,}8.$$
Следовательно,
$$x\in(-6;1{,}8].$$
$$\left(\frac{29}{30}\right)^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1$$
Так как $$0<\frac{29}{30}<1,$$ то показатель должен быть отрицательным:
$$\frac{9x-18}{6-x} < 0.$$
Преобразуем:
$$\frac{9(x-2)}{6-x} < 0 \iff \frac{x-2}{6-x} < 0 \iff \frac{x-2}{x-6} > 0.$$
Критические точки: $$x=2,\; x=6.$$
По знакам дроби:
$$x<2 \quad \text{или} \quad x>6.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;-2)\cup\left[\frac32;+\infty\right)$$; б) $$x\in\left[-\frac17;2\right)$$; в) $$x\in(-6;1{,}8]$$; г) $$x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty)$$.
