Упр.40.53 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 5^x < = -x + 6; б) (1/4)^x > 3x + 1;
в) 3^x > = -x + 4;
г) (1/2)^x < 0,5x + 5.

1. $$5^x \le -x+6$$

   Функция $$y=5^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=-x+6$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Поэтому неравенство выполняется слева от точки их пересечения.

   Проверим точку $$x=1$$:

   $$5^1=5,\qquad -1+6=5.$$

   Значит,

   $$x\in(-\infty;1].$$

2. $$\left(\frac14\right)^x>3x+1$$

   Функция $$y=\left(\frac14\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=3x+1$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Следовательно, неравенство выполняется слева от точки пересечения.

   Проверим точку $$x=0$$:

   $$\left(\frac14\right)^0=1,\qquad 3\cdot 0+1=1.$$

   Тогда

   $$x\in(-\infty;0).$$

3. $$3^x\ge -x+4$$

   Функция $$y=3^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=-x+4$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Значит, неравенство выполняется справа от точки пересечения.

   Проверим точку $$x=1$$:

   $$3^1=3,\qquad -1+4=3.$$

   Следовательно,

   $$x\in[1;+\infty).$$

4. $$\left(\frac12\right)^x<0{,}5x+5$$

   Рассмотрим графики функций $$y=\left(\frac12\right)^x$$ и $$y=0{,}5x+5$$. Они пересекаются в точке $$(-2;4)$$.

   Так как показательная функция убывает, а прямая возрастает, то неравенство выполняется при $$x>-2$$.

   Итак,

   $$x\in(-2;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;1]$$; б) $$x\in(-\infty;0)$$; в) $$x\in[1;+\infty)$$; г) $$x\in(-2;+\infty)$$.