Упр.40.50 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 3^2x — 4 * 3^x + 3 < = 0; б) 5^2x + 4 * 5^x - 5 > = 0;
в) 0,2^2x — 1,2 * 0,2^x + 0,2 > 0;
г) (1/7)^2x + 6 * (1/7)^x — 7 < 0.

1. а) Сделаем замену $$y=3^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$3^{2x}-4\cdot 3^x+3\le 0 \;\Longrightarrow\; y^2-4y+3\le 0.$$

   $$y^2-4y+3=(y-1)(y-3)\le 0,$$

   откуда $$1\le y\le 3.$$

   Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

   $$1\le 3^x\le 3 \;\Longrightarrow\; 0\le x\le 1.$$

2. б) Пусть $$y=5^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$5^{2x}+4\cdot 5^x-5\ge 0 \;\Longrightarrow\; y^2+4y-5\ge 0.$$

   $$y^2+4y-5=(y-1)(y+5)\ge 0.$$

   С учётом $$y>0$$ получаем $$y\ge 1.$$

   Значит,

   $$5^x\ge 1 \;\Longrightarrow\; x\ge 0.$$

3. в) Сделаем замену $$y=0{,}2^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$0{,}2^{2x}-1{,}2\cdot 0{,}2^x+0{,}2>0 \;\Longrightarrow\; y^2-1{,}2y+0{,}2>0.$$

   Умножим на $$5$$:

   $$5y^2-6y+1>0.$$

   $$5y^2-6y+1=(5y-1)(y-1)>0,$$

   откуда $$0<y<0{,}2 \;\text{или}\; y>1.$$

   Тогда

   $$0<0{,}2^x<0{,}2 \;\text{или}\; 0{,}2^x>1.$$

   Так как основание $$0{,}2<1,$$ получаем

   $$x>1 \;\text{или}\; x<0.$$

4. г) Пусть $$y=\left(\frac17\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$\left(\frac17\right)^{2x}+6\left(\frac17\right)^x-7<0 \;\Longrightarrow\; y^2+6y-7<0.$$

   $$y^2+6y-7=(y-1)(y+7)<0,$$

   откуда $$-7<y<1.$$ С учётом $$y>0$$ имеем $$0<y<1.$$

   Значит,

   $$0<\left(\frac17\right)^x<1.$$

   Так как $$0<\frac17<1,$$ то это возможно при $$x>0.$$

Ответ

а) $$x\in[0;1]$$; б) $$x\in[0;+\infty)$$; в) $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$; г) $$x\in(0;+\infty)$$.