Упр.40.49 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2^x + 2^(x + 2) < = 20; б) 3^(2x - 1) - 3^(2x - 3) < 8/3; в) (1/5)^(3x + 4) + (1/5)^(3x + 5) > 6;
г) 0,3^(6x — 1) — 0,3^6x > = 0,7.

1. а) $$2^x+2^{x+2}\le 20$$

   Вынесем $$2^x$$ за скобки:

   $$2^x(1+2^2)\le 20$$

   $$5\cdot 2^x\le 20$$

   $$2^x\le 4=2^2$$

   Так как основание $$2>1$$, получаем:

   $$x\le 2$$

2. б) $$3^{2x-1}-3^{2x-3}<\frac{8}{3}$$

   Вынесем $$3^{2x-3}$$ за скобки:

   $$3^{2x-3}(3^2-1)<\frac{8}{3}$$

   $$3^{2x-3}\cdot 8<\frac{8}{3}$$

   $$3^{2x-3}<\frac{1}{3}=3^{-1}$$

   Так как основание $$3>1$$, то

   $$2x-3<-1$$

   $$2x<2$$

   $$x<1$$

3. в) $$\left(\frac15\right)^{3x+4}+\left(\frac15\right)^{3x+5}>6$$

   Вынесем $$\left(\frac15\right)^{3x+4}$$ за скобки:

   $$\left(\frac15\right)^{3x+4}\left(1+\frac15\right)>6$$

   $$\left(\frac15\right)^{3x+4}\cdot \frac65>6$$

   $$\left(\frac15\right)^{3x+4}>5$$

   $$\left(\frac15\right)^{3x+4}>\left(\frac15\right)^{-1}$$

   Так как $$0<\frac15<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

   $$3x+4<-1$$

   $$3x<-5$$

   $$x<-\frac53$$

4. г) $$0{,}3^{6x-1}-0{,}3^{6x}\ge 0{,}7$$

   Вынесем $$0{,}3^{6x}$$ за скобки:

   $$0{,}3^{6x}(0{,}3^{-1}-1)\ge 0{,}7$$

   $$0{,}3^{6x}\left(\frac{10}{3}-1\right)\ge 0{,}7$$

   $$0{,}3^{6x}\cdot \frac73\ge 0{,}7$$

   $$0{,}3^{6x}\ge 0{,}7\cdot \frac37=\frac{3}{10}=0{,}3$$

   $$0{,}3^{6x}\ge 0{,}3^1$$

   Так как $$0<0{,}3<1$$, получаем:

   $$6x\le 1$$

   $$x\le \frac16$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;2]$$; б) $$x\in(-\infty;1)$$; в) $$x\in\left(-\infty;-\frac53\right)$$; г) $$x\in\left(-\infty;\frac16\right]$$.