Упр.40.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 48 * 4^х + 27 = а + а * 4^(х + 2);
б) 9^x + 2а * 3^(х + 1) + 9 = 0.

а) Преобразуем уравнение:

$$48\cdot 4^x+27=a+a\cdot 4^{x+2}$$

$$48\cdot 4^x+27=a+16a\cdot 4^x$$

$$4^x(48-16a)=a-27$$

Если $$48-16a\neq 0$$, то

$$4^x=\frac{a-27}{48-16a}$$

Показательное уравнение не имеет корней, когда правая часть не положительна:

$$\frac{a-27}{48-16a}\le 0$$

$$\frac{a-27}{3-a}\le 0$$

Отсюда

$$a<3 \quad \text{или} \quad a\ge 27.$$

Проверим случай $$48-16a=0$$, то есть $$a=3$$. Тогда получаем

$$48\cdot 4^x+27=3+3\cdot 4^{x+2}$$

$$48\cdot 4^x+27=3+48\cdot 4^x$$

$$27=3,$$

что невозможно. Значит, при $$a=3$$ корней тоже нет.

Итак,

$$a\in(-\infty;3]\cup[27;+\infty).$$

б) Сделаем замену:

$$3^x=t,\quad t>0.$$

Тогда

$$9^x+2a\cdot 3^{x+1}+9=0$$

$$t^2+6at+9=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$t$$. Чтобы оно не имело положительных корней, рассмотрим дискриминант:

$$D=(6a)^2-4\cdot 1\cdot 9=36(a^2-1).$$

Если $$D<0$$, то корней нет:

$$a^2-1<0 \quad \Rightarrow \quad -1<a<1.$$

Если $$D\ge 0$$, то корни равны

$$t_{1,2}=\frac{-6a\pm 6\sqrt{a^2-1}}{2}=-3a\pm 3\sqrt{a^2-1}.$$

Нужно, чтобы оба корня были неположительными. Это выполняется при $$a\ge 1$$, так как тогда

$$t_1=-3a+3\sqrt{a^2-1}<0,\qquad t_2=-3a-3\sqrt{a^2-1}<0.$$

Следовательно, уравнение не имеет корней при

$$a>-1.$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;3]\cup[27;+\infty)$$; б) $$a>-1$$.