Упр.40.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
2^2x + 2^x * y = 10,
y^2 + y * 2^x = 15;
б) система
7^2x — 7^x * y = 28,
y^2 — y * 7^x = -12.

а) Сделаем замену $$2^x=t.$$ Тогда система примет вид

$$ \begin{cases} t^2+t y=10,\\ y^2+t y=15. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ t^2-y^2=-5, $$

или

$$ (t-y)(t+y)=-5. $$

Но удобнее выразить $$ty$$ из первого уравнения:

$$ ty=10-t^2. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ y^2+10-t^2=15, $$

$$ y^2=t^2+5. $$

Из первого уравнения также получаем

$$ y=\frac{10-t^2}{t}, \qquad t\ne 0. $$

Подставим в уравнение $$y^2=t^2+5$$:

$$ \left(\frac{10-t^2}{t}\right)^2=t^2+5. $$

После преобразований:

$$ (10-t^2)^2=t^2(t^2+5), $$

$$ 100-20t^2+t^4=t^4+5t^2, $$

$$ 100=25t^2, $$

$$ t^2=4. $$

Так как $$t=2^x>0,$$ то $$t=2.$$ Тогда

$$ 2^x=2 \Rightarrow x=1. $$

Найдём $$y$$:

$$ y=\frac{10-2^2}{2}=\frac{6}{2}=3. $$

Значит, решение системы:

$$ (x;y)=(1;3). $$

б) Сделаем замену $$7^x=t.$$ Тогда

$$ \begin{cases} t^2-ty=28,\\ y^2-ty=-12. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ ty=t^2-28. $$

Подставим во второе:

$$ y^2-(t^2-28)=-12, $$

$$ y^2-t^2+40=0. $$

Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$ y=\frac{t^2-28}{t}, \qquad t\ne 0. $$

Подставим в уравнение $$y^2-t^2+40=0$$:

$$ \left(\frac{t^2-28}{t}\right)^2-t^2+40=0. $$

Умножим на $$t^2$$:

$$ (t^2-28)^2-t^4+40t^2=0, $$

$$ t^4-56t^2+784-t^4+40t^2=0, $$

$$ -16t^2+784=0, $$

$$ t^2=49. $$

Так как $$t=7^x>0,$$ то $$t=7.$$ Тогда

$$ 7^x=7 \Rightarrow x=1. $$

Найдём $$y$$:

$$ y=\frac{49-28}{7}=3. $$

Следовательно,

$$ (x;y)=(1;3). $$

Ответ

а) $$ (1;3) $$; б) $$ (1;3) $$.