Упр.40.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) система
корень(3^(x — 1)) * корень(9^y) = 27,
2^(2х + y) / 2^х = 64;

Подробный ответ

а)

$$ \begin{cases} \sqrt{3^{x-1}}\cdot \sqrt{9^y}=27,\\ \dfrac{2^{2x+y}}{2^x}=64. \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение:
$$ \sqrt{3^{x-1}}=3^{\frac{x-1}{2}}, \qquad \sqrt{9^y}=\sqrt{(3^2)^y}=3^y. $$
Тогда
$$ 3^{\frac{x-1}{2}}\cdot 3^y=27=3^3, $$
откуда
$$ \frac{x-1}{2}+y=3. $$
Умножим на 2:
$$ x-1+2y=6, $$
то есть
$$ x+2y=7. $$

Второе уравнение:
$$ \dfrac{2^{2x+y}}{2^x}=2^{2x+y-x}=2^{x+y}=64=2^6, $$
значит
$$ x+y=6. $$

Решаем систему:
$$ \begin{cases} x+2y=7,\\ x+y=6. \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ y=1. $$
Тогда
$$ x+1=6,\qquad x=5. $$

б)

$$ \begin{cases} \sqrt{6^{x-2y}}:\sqrt{6^x}=\dfrac16,\\ \left(\dfrac13\right)^{2x-y}\cdot 3^{x-2y}=\dfrac13. \end{cases} $$

Первое уравнение:
$$ \dfrac{\sqrt{6^{x-2y}}}{\sqrt{6^x}}=\dfrac16. $$
Запишем через степени:
$$ 6^{\frac{x-2y}{2}} \cdot 6^{-\frac{x}{2}}=6^{-1}. $$
Тогда
$$ \frac{x-2y}{2}-\frac{x}{2}=-1, $$
$$ -y=-1, $$
$$ y=1. $$

Второе уравнение:
$$ \left(\dfrac13\right)^{2x-y}\cdot 3^{x-2y}=3^{-1}. $$
Так как
$$ \left(\dfrac13\right)^{2x-y}=3^{-(2x-y)}=3^{-2x+y}, $$
то
$$ 3^{-2x+y}\cdot 3^{x-2y}=3^{-1}. $$
Следовательно,
$$ -2x+y+x-2y=-1, $$
$$ -x-y=-1, $$
$$ x+y=1. $$
При $y=1$ получаем
$$ x=0. $$