Упр.40.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
(корень(3))^(x + 2y) = корень(3) * корень(27),
0,1^x * 10^3y = 10;
б) система
27^y * 3^x = 1,
(1/2)^x * 4^y = 2;

1. а)

   $$\begin{cases} (\sqrt{3})^{x+2y}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{27},\\ 0{,}1^x\cdot 10^{3y}=10 \end{cases}$$
   $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3^3}=(\sqrt{3})^4,$$
   значит
   $$x+2y=4.$$
   Далее
   $$0{,}1^x\cdot 10^{3y}=10,$$
   $$10^{-x}\cdot 10^{3y}=10^1,$$
   $$-x+3y=1.$$
   Решаем систему:
   $$\begin{cases} x+2y=4,\\ -x+3y=1 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$5y=5,\quad y=1.$$
   Тогда
   $$x=4-2\cdot 1=2.$$

   Ответ: $$(2;\,1).$$

2. б)

   $$\begin{cases} 27^y\cdot 3^x=1,\\ \left(\dfrac12\right)^x\cdot 4^y=2 \end{cases}$$
   $$27^y=(3^3)^y=3^{3y},\qquad 1=3^0,$$
   поэтому
   $$3^{3y}\cdot 3^x=3^0,\quad 3y+x=0.$$
   Далее
   $$\left(\dfrac12\right)^x\cdot 4^y=2,$$
   $$2^{-x}\cdot 2^{2y}=2^1,$$
   $$2y-x=1.$$
   Решаем систему:
   $$\begin{cases} 3y+x=0,\\ 2y-x=1 \end{cases}$$
   Складываем:
   $$5y=1,\quad y=\dfrac15.$$
   Тогда
   $$x=-3y=-\dfrac35.$$

   Ответ: $$\left(-\dfrac35;\,\dfrac15\right).$$

3. в)

   $$\begin{cases} (\sqrt{5})^{2x+y}=\sqrt{\dfrac15}\cdot\sqrt{5},\\ \left(\dfrac15\right)^x\cdot 5^y=125 \end{cases}$$
   $$\sqrt{\dfrac15}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{1}=1=(\sqrt{5})^0,$$
   значит
   $$2x+y=0.$$
   Далее
   $$\left(\dfrac15\right)^x\cdot 5^y=125,$$
   $$5^{-x}\cdot 5^y=5^3,$$
   $$-x+y=3.$$
   Решаем систему:
   $$\begin{cases} 2x+y=0,\\ -x+y=3 \end{cases}$$
   Из первого уравнения
   $$y=-2x.$$
   Подставим во второе:
   $$-x-2x=3,\quad -3x=3,\quad x=-1.$$
   Тогда
   $$y=2.$$

   Ответ: $$(-1;\,2).$$

4. г)

   $$\begin{cases} 5^y\cdot 25^x=625,\\ \left(\dfrac13\right)^x\cdot 9^y=\dfrac1{27} \end{cases}$$
   $$25^x=(5^2)^x=5^{2x},\qquad 625=5^4,$$
   поэтому
   $$5^{y+2x}=5^4,\quad y+2x=4.$$
   Далее
   $$\left(\dfrac13\right)^x\cdot 9^y=\dfrac1{27},$$
   $$3^{-x}\cdot 3^{2y}=3^{-3},$$
   $$2y-x=-3.$$
   Решаем систему:
   $$\begin{cases} y+2x=4,\\ 2y-x=-3 \end{cases}$$
   Из первого уравнения
   $$y=4-2x.$$
   Подставим во второе:
   $$2(4-2x)-x=-3,$$
   $$8-5x=-3,$$
   $$-5x=-11,\quad x=\dfrac{11}{5}=2{,}2.$$
   Тогда
   $$y=4-2\cdot 2{,}2=-0{,}4.$$

   Ответ: $$(2{,}2;\,-0{,}4).$$