Упр.40.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 5^(2x^2 — 1) — 3 * 5^(x + 1)(x + 2) = 2 * 5^6(x + 1);
Р±) 3^(2С…^2 — 1) — 3^(С… — 1)(x + 5) = 2 * 3^8(x — 1).

1. $$5^{2x^2-1}-3\cdot 5^{(x+1)(x+2)}=2\cdot 5^{6(x+1)}$$

   $$5^{2x^2-1}-3\cdot 5^{x^2+3x+2}=2\cdot 5^{6x+6}$$

   Разделим обе части на $$5^{6x+6}$$:

   $$5^{2x^2-6x-7}-3\cdot 5^{x^2-3x-4}=2$$

   Положим $$y=5^{x^2-3x-4}$$. Тогда

   $$5y^2-3y-2=0$$

   $$D=3^2+4\cdot 5\cdot 2=49$$

   $$y_1=\frac{3+7}{10}=1,\qquad y_2=\frac{3-7}{10}=-\frac{2}{5}$$

   Так как $$5^{x^2-3x-4}>0$$, значение $$y=-\frac{2}{5}$$ не подходит. Тогда

   $$5^{x^2-3x-4}=1$$

   $$x^2-3x-4=0$$

   $$D=9+16=25$$

   $$x_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{3+5}{2}=4$$

2. $$3^{2x^2-1}-3^{(x-1)(x+5)}=2\cdot 3^{8(x-1)}$$

   $$3^{2x^2-1}-3^{x^2+4x-5}=2\cdot 3^{8x-8}$$

   Разделим обе части на $$3^{8x-8}$$:

   $$3^{2x^2-8x+7}-3^{x^2-4x+3}=2$$

   Положим $$y=3^{x^2-4x+3}$$. Тогда

   $$3y^2-y-2=0$$

   $$D=1+24=25$$

   $$y_1=\frac{1+5}{6}=1,\qquad y_2=\frac{1-5}{6}=-\frac{2}{3}$$

   Так как $$3^{x^2-4x+3}>0$$, значение $$y=-\frac{2}{3}$$ не подходит. Тогда

   $$3^{x^2-4x+3}=1$$

   $$x^2-4x+3=0$$

   $$D=16-12=4$$

   $$x_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad x_2=\frac{4+2}{2}=3$$

Ответ

а) $$-1,\ 4$$; б) $$1,\ 3$$.