Упр.40.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 4(корень(5) — 2)^(x — 12) = (2 / (корень(5) + 2))^(x — 12);
б) 9(3 — корень(8))^(2x + 1) = (3 / (3 + корень(8)))^(2x + 1).

1. а) Преобразуем правую часть:

   $$\frac{2}{\sqrt{5}+2}=\frac{2(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\frac{2(\sqrt{5}-2)}{5-4}=2(\sqrt{5}-2).$$

   Тогда уравнение принимает вид

   $$4(\sqrt{5}-2)^{x-12}=\bigl(2(\sqrt{5}-2)\bigr)^{x-12}.$$

   Так как $$4=2^2,$$ получаем

   $$2^2(\sqrt{5}-2)^{x-12}=2^{x-12}(\sqrt{5}-2)^{x-12}.$$

   Сократим на $$ (\sqrt{5}-2)^{x-12} \neq 0 $$:

   $$2^2=2^{x-12}.$$

   Следовательно,

   $$x-12=2,$$

   откуда

   $$x=14.$$

2. б) Преобразуем правую часть:

   $$\frac{3}{3+\sqrt{8}}=\frac{3(3-\sqrt{8})}{(3+\sqrt{8})(3-\sqrt{8})}=\frac{3(3-\sqrt{8})}{9-8}=3(3-\sqrt{8}).$$

   Тогда

   $$9(3-\sqrt{8})^{2x+1}=\bigl(3(3-\sqrt{8})\bigr)^{2x+1}.$$

   Так как $$9=3^2,$$ имеем

   $$3^2(3-\sqrt{8})^{2x+1}=3^{2x+1}(3-\sqrt{8})^{2x+1}.$$

   Сократим на $$ (3-\sqrt{8})^{2x+1} \neq 0 $$:

   $$3^2=3^{2x+1}.$$

   Значит,

   $$2=2x+1,$$

   откуда

   $$x=\frac{1}{2}.$$

Ответ

а) $$14$$; б) $$\frac{1}{2}$$.