Упр.40.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (1/2)^x = 0,5x + 5;
б) 3^x = -x + 4;
в) (1/7)^x = 2x + 9;
г) 3^x/2 = -0,5x + 4.

1. а) Рассмотрим функции $$y=\left(\frac12\right)^x$$ и $$y=0{,}5x+5.$$ Их графики пересекаются в точке $$(-2;4).$$ Значит, $$x=-2.$$

2. б) Решим уравнение $$3^x=-x+4.$$ Функция $$f(x)=3^x$$ возрастает, а $$g(x)=-x+4$$ убывает, поэтому пересечение может быть только одно. Проверим значение $$x=1$$:

   $$3^1=3,\qquad -1+4=3.$$

   Следовательно, $$x=1.$$

3. в) Решим уравнение $$\left(\frac17\right)^x=2x+9.$$ Функция $$f(x)=\left(\frac17\right)^x$$ убывает, а $$g(x)=2x+9$$ возрастает, значит, решение единственно. Проверим $$x=-1$$:

   $$\left(\frac17\right)^{-1}=7,\qquad 2\cdot(-1)+9=7.$$

   Следовательно, $$x=-1.$$

4. г) Решим уравнение $$3^{x/2}=-0{,}5x+4.$$ Так как $$3^{x/2}=(\sqrt3)^x,$$ получаем:

   $$ (\sqrt3)^x=-0{,}5x+4.$$

   Функция $$f(x)=(\sqrt3)^x$$ возрастает, а $$g(x)=-0{,}5x+4$$ убывает, поэтому решение единственно. Проверим $$x=2$$:

   $$ (\sqrt3)^2=3,\qquad -0{,}5\cdot2+4=3.$$

   Следовательно, $$x=2.$$

Ответ

а) $$-2$$; б) $$1$$; в) $$-1$$; г) $$2$$.