Упр.40.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2 * 4^х — 5 * 2^x + 2 = 0;
б) 3 * 9^х — 10 * 3^х + 3 = 0;
в) 4(1/16)^x + 15(1/4)^x — 4 = 0;
г) (0,25)^x + 1,5 * (0,5)^x — 1 = 0.

1. а) $$2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2=0$$

   Так как $$4^x=(2^x)^2$$, сделаем замену $$y=2^x,\; y>0$$. Тогда

   $$2y^2-5y+2=0$$

   $$D=25-16=9$$

   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$

   $$y_1=2,\quad y_2=\frac12$$

   Возвращаемся к замене:

   $$2^x=2 \Rightarrow x=1$$

   $$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1$$

2. б) $$3\cdot 9^x-10\cdot 3^x+3=0$$

   Так как $$9^x=(3^x)^2$$, положим $$y=3^x,\; y>0$$. Тогда

   $$3y^2-10y+3=0$$

   $$D=100-36=64$$

   $$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$

   $$y_1=3,\quad y_2=\frac13$$

   Следовательно,

   $$3^x=3 \Rightarrow x=1$$

   $$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1$$

3. в) $$4\left(\frac{1}{16}\right)^x+15\left(\frac{1}{4}\right)^x-4=0$$

   Так как $$\left(\frac{1}{16}\right)^x=\left(\frac{1}{4}\right)^{2x}$$, сделаем замену $$y=\left(\frac{1}{4}\right)^x,\; y>0$$. Тогда

   $$4y^2+15y-4=0$$

   $$D=225+64=289$$

   $$y_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{8}$$

   $$y_1=\frac14,\quad y_2=-4$$

   Так как $$y>0$$, корень $$y=-4$$ не подходит. Тогда

   $$\left(\frac14\right)^x=\frac14 \Rightarrow x=1$$

4. г) $$\left(0{,}25\right)^x+1{,}5\cdot \left(0{,}5\right)^x-1=0$$

   Так как $$0{,}25=(0{,}5)^2$$, получаем

   $$\left(0{,}5\right)^{2x}+1{,}5\left(0{,}5\right)^x-1=0$$

   Пусть $$y=(0{,}5)^x,\; y>0$$. Тогда

   $$y^2+1{,}5y-1=0$$

   $$D=1{,}5^2+4=6{,}25$$

   $$y_{1,2}=\frac{-1{,}5\pm 2{,}5}{2}$$

   $$y_1=\frac12,\quad y_2=-2$$

   Корень $$y=-2$$ не подходит. Значит,

   $$\left(0{,}5\right)^x=\frac12 \Rightarrow x=1$$

Ответ

а) $$x=-1,\;1$$; б) $$x=-1,\;1$$; в) $$x=1$$; г) $$x=1$$.