Упр.40.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2^2x — 6 * 2^x + 8 = 0;
б) З^2x — 6 * 3^x — 27 = 0;
в) (1/6)^2x — 5 * (1/6)^x — 6 = 0;
г) (1/6)^2x + 5 * (1/6)^x — 6 = 0;

а) Сделаем замену: $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$y^2-6y+8=0$$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$$

$$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$

$$y_1=4,\quad y_2=2$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2^x=4=2^2 \Rightarrow x=2$$

$$2^x=2=2^1 \Rightarrow x=1$$

б) Пусть $$y=3^x,\quad y>0.$$ Тогда:

$$y^2-6y-27=0$$

$$D=6^2+4\cdot 27=36+108=144$$

$$y_{1,2}=\frac{6\pm 12}{2}$$

$$y_1=9,\quad y_2=-3$$

Так как $$y>0,$$ значение $$y=-3$$ не подходит. Тогда

$$3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2$$

в) Пусть $$y=\left(\frac16\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда:

$$y^2-5y-6=0$$

$$D=5^2+4\cdot 6=25+24=49$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2}$$

$$y_1=6,\quad y_2=-1$$

Так как $$y>0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Получаем:

$$\left(\frac16\right)^x=6=\left(\frac16\right)^{-1} \Rightarrow x=-1$$

г) Пусть $$y=\left(\frac16\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда:

$$y^2+5y-6=0$$

$$D=5^2+4\cdot 6=25+24=49$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2}$$

$$y_1=1,\quad y_2=-6$$

Так как $$y>0,$$ значение $$y=-6$$ не подходит. Тогда

$$\left(\frac16\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$

Ответ

а) $$1,\,2$$; б) $$2$$; в) $$-1$$; г) $$0$$.