Упр.39.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = 2^x, у = -3/2 х — 1;
б) У = (1/2)^x, у = -х — 2;
в) У = (1/5)^x, У = Зх + 1;
г) у = 3^х, y = -2х + 5?
а) Нужно решить неравенство
$$2^x<-\frac{3}{2}x-1.$$
Функция $$y=2^x$$ возрастает, а прямая $$y=-\frac{3}{2}x-1$$ убывает. Найдём точку их пересечения:
$$ 2^x=-\frac{3}{2}x-1 $$
Проверим значение $$x=-1$$:
$$ 2^{-1}=\frac12,\qquad -\frac{3}{2}\cdot(-1)-1=\frac32-1=\frac12. $$
Значит, графики пересекаются при $$x=-1$$. Так как при меньших $$x$$ показательная функция лежит ниже прямой, получаем:
$$x\in(-\infty;-1).$$
б) Решаем неравенство
$$\left(\frac12\right)^x<-x-2.$$
Функция $$y=\left(\frac12\right)^x$$ убывает, а прямая $$y=-x-2$$ тоже убывает. Проверим точку пересечения:
$$ \left(\frac12\right)^{-2}=4,\qquad -(-2)-2=0. $$
Равенства нет. При $$x=-1$$:
$$ \left(\frac12\right)^{-1}=2,\qquad -(-1)-2=-1. $$
Показательная функция выше прямой при всех $$x$$, значит решений нет:
$$x\in\varnothing.$$
в) Решаем неравенство
$$\left(\frac15\right)^x<3x+1.$$
Функция $$y=\left(\frac15\right)^x$$ убывает, а прямая $$y=3x+1$$ возрастает. Найдём точку пересечения:
$$ \left(\frac15\right)^0=1,\qquad 3\cdot 0+1=1. $$
Значит, графики пересекаются при $$x=0$$. Для $$x>0$$ прямая выше показательной функции, поэтому
$$x\in(0;+\infty).$$
г) Решаем неравенство
$$3^x<-2x+5.$$
Функция $$y=3^x$$ возрастает, а прямая $$y=-2x+5$$ убывает. Проверим точку пересечения:
$$ 3^1=3,\qquad -2\cdot 1+5=3. $$
Значит, графики пересекаются при $$x=1$$. При $$x<1$$ показательная функция лежит ниже прямой, следовательно
$$x\in(-\infty;1).$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;-1)$$; б) $$x\in\varnothing$$; в) $$x\in(0;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;1)$$.
