Упр.39.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = 2^х, у = 3 — х;
б) y = (2/5)^x, y = -x — 3;
в) y = (корень(2))^x, у = 4 — х;
г) y = (3/7)^x, У = -x — 2?

1. а) Рассмотрим функции $$y=2^x$$ и $$y=3-x$$.

   Функция $$y=2^x$$ возрастает, а прямая $$y=3-x$$ убывает. Найдём точку их пересечения:

   $$ 2^x=3-x $$

   Подбором получаем:

   $$ x=1,\quad 2^1=2,\quad 3-1=2 $$

   Значит, при $$x>1$$ график показательной функции лежит выше графика линейной функции.

2. б) Рассмотрим функции $$y=\left(\frac{2}{5}\right)^x$$ и $$y=-x-3$$.

   Показательная функция $$y=\left(\frac{2}{5}\right)^x$$ убывает, а прямая $$y=-x-3$$ тоже убывает. Проверим точку пересечения:

   $$ \left(\frac{2}{5}\right)^x=-x-3 $$

   При $$x=0$$:

   $$ \left(\frac{2}{5}\right)^0=1,\quad -0-3=-3 $$

   Показательная функция всегда положительна, а прямая принимает отрицательные значения, поэтому график $$y=\left(\frac{2}{5}\right)^x$$ лежит выше графика $$y=-x-3$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

3. в) Рассмотрим функции $$y=(\sqrt{2})^x$$ и $$y=4-x$$.

   Функция $$y=(\sqrt{2})^x$$ возрастает, а прямая $$y=4-x$$ убывает. Найдём точку пересечения:

   $$ (\sqrt{2})^x=4-x $$

   Подбором получаем:

   $$ x=2,\quad (\sqrt{2})^2=2,\quad 4-2=2 $$

   Следовательно, при $$x>2$$ график показательной функции лежит выше графика линейной функции.

4. г) Рассмотрим функции $$y=\left(\frac{3}{7}\right)^x$$ и $$y=-x-2$$.

   Показательная функция $$y=\left(\frac{3}{7}\right)^x$$ убывает, а прямая $$y=-x-2$$ убывает. Проверим точку пересечения:

   $$ \left(\frac{3}{7}\right)^x=-x-2 $$

   Показательная функция всегда положительна, а прямая при больших значениях $$x$$ отрицательна; график $$y=\left(\frac{3}{7}\right)^x$$ лежит выше графика $$y=-x-2$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

Ответ

а) $$x\in(1;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;+\infty)$$; в) $$x\in(2;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;+\infty)$$.