Упр.39.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

система
2^x, если х > = 0,
Зх + 1, если х < 0. а) Вычислите f(-3); f(-2,5); f(0); f(2); f(3,5); б) постройте график функции у = f(x); в) прочитайте график функции.

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} 2^x, & x \ge 0,\\ 3x+1, & x<0. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-3)=3\cdot(-3)+1=-9+1=-8 $$

$$ f(-2{,}5)=3\cdot(-2{,}5)+1=-7{,}5+1=-6{,}5 $$

$$ f(0)=2^0=1 $$

$$ f(2)=2^2=4 $$

$$ f(3{,}5)=2^{3{,}5}=2^3\cdot 2^{0{,}5}=8\sqrt{2} $$

б) Построим график функции.

При $$x<0$$ график задаёт прямая $$y=3x+1$$. Для построения удобно взять точки:

$$ x=-1,\quad y=3\cdot(-1)+1=-2 $$

$$ x=0,\quad y=1 $$

При $$x\ge 0$$ график задаёт показательная функция $$y=2^x$$. Для построения возьмём точки:

$$ (0;1),\ (1;2),\ (3;8) $$

Итак, график состоит из луча прямой $$y=3x+1$$ при $$x<0$$ и ветви показательной функции $$y=2^x$$ при $$x\ge 0$$, причём обе части соединяются в точке $$ (0;1) $$.

в) По графику получаем:

• область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• функция возрастает на всей числовой прямой;
• функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
• наименьшего и наибольшего значений не имеет;
• функция непрерывна;
• множество значений: $$E(f)=(-\infty;+\infty)$$.

Ответ

$$ f(-3)=-8,\quad f(-2{,}5)=-6{,}5,\quad f(0)=1,\quad f(2)=4,\quad f(3{,}5)=8\sqrt{2} $$

График: $$y=3x+1$$ при $$x<0$$ и $$y=2^x$$ при $$x\ge 0$$.

$$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=(-\infty;+\infty)$$

Функция ни чётная, ни нечётная, возрастает на всей числовой прямой, не ограничена, непрерывна.