Упр.38.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = корень(х) — х;
б) у = х корень(х + 2).

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x}-x.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$ y’=\left(\sqrt{x}\right)’-\left(x\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}. $$

На области определения при $$x>0$$ знак производной определяется числителем:

$$ 1-2\sqrt{x}=0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x}=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\frac14. $$

Тогда:

$$ y’>0 \text{ при } 0<x<\frac14,\qquad y'<0 \text{ при } x>\frac14. $$

Следовательно, функция возрастает на $$\left[0;\frac14\right]$$ и убывает на $$\left[\frac14;+\infty\right).$$

В точке $$x=\frac14$$ достигается максимум:

$$ y\left(\frac14\right)=\sqrt{\frac14}-\frac14=\frac12-\frac14=\frac14. $$

Для построения графика отметим несколько точек:

$$ (0,0),\ (1,0),\ (4,-2),\ (9,-6). $$

б) Рассмотрим функцию $$y=x\sqrt{x+2}.$$

Область определения: $$x+2\ge 0,\quad x\ge -2.$$

Найдём производную:

$$ y’=(x)’\sqrt{x+2}+x\left(\sqrt{x+2}\right)’=\sqrt{x+2}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+2}}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ y’=\frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}. $$

На области определения при $$x>-2$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:

$$ 3x+4=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac43. $$

Тогда:

$$ y'<0 \text{ при } -2<x<-\frac43,\qquad y’>0 \text{ при } x>-\frac43. $$

Следовательно, функция убывает на $$\left[-2;-\frac43\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac43;+\infty\right).$$

В точке $$x=-\frac43$$ достигается минимум:

$$ y\left(-\frac43\right)=-\frac43\sqrt{-\frac43+2} =-\frac43\sqrt{\frac23} =-\frac{4\sqrt6}{9}. $$

Для построения графика отметим несколько точек:

$$ (-2,0),\ (-1,-1),\ (0,0),\ (2,4). $$

Ответ

а) Функция возрастает на $$\left[0;\frac14\right]$$ и убывает на $$\left[\frac14;+\infty\right).$$ Максимум при $$x=\frac14,$$ $$y_{\max}=\frac14.$$

б) Функция убывает на $$\left[-2;-\frac43\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac43;+\infty\right).$$ Минимум при $$x=-\frac43,$$ $$y_{\min}=-\frac{4\sqrt6}{9}.$$