Упр.38.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x) = x^2 — 2/3 x^3/2;
б) f(x) = -8/x — x^2 / 2;
в) f(x) = 3/5 x^5/3 + 3/2 x^4/3;
г) f(x) = 0,4x^5/4 — 8/3 x^3/4.

1. $$f(x)=x^2-\frac{2}{3}x^{3/2}$$

   $$f'(x)=2x-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=2x-\sqrt{x}$$

   Решим неравенство:

   $$2x-\sqrt{x}>0$$

   Область определения: $$x\ge 0$$.

   Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2$$. Получаем:

   $$2t^2-t>0$$

   $$t(2t-1)>0$$

   Так как $$t\ge 0$$, то нужно $$t>\frac12$$, значит

   $$\sqrt{x}>\frac12 \quad \Rightarrow \quad x>\frac14$$

   С учётом ОДЗ:

   $$x\in\left(\frac14;+\infty\right)$$

2. $$f(x)=-\frac{8}{x}-\frac{x^2}{2}$$

   $$f'(x)=\frac{8}{x^2}-x$$

   Решим неравенство:

   $$\frac{8}{x^2}-x>0$$

   $$\frac{8-x^3}{x^2}>0$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, достаточно решить:

   $$8-x^3>0$$

   $$x^3<8$$

   $$x<2$$

   С учётом ОДЗ $$x\ne 0$$:

   $$x\in(-\infty;0)\cup(0;2)$$

3. $$f(x)=\frac{3}{5}x^{5/3}+\frac{3}{2}x^{4/3}$$

   $$f'(x)=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}x^{2/3}+\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}x^{1/3}=x^{2/3}+2x^{1/3}$$

   Решим неравенство:

   $$x^{2/3}+2x^{1/3}>0$$

   $$x^{1/3}\left(x^{1/3}+2\right)>0$$

   Положим $$t=\sqrt[3]{x}$$. Тогда:

   $$t(t+2)>0$$

   $$t<-2 \quad \text{или} \quad t>0$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем:

   $$x<-8 \quad \text{или} \quad x>0$$

   Но при $$x<0$$ выражение $$x^{2/3}+2x^{1/3}$$ не положительно, поэтому остаётся

   $$x\in(0;+\infty)$$

4. $$f(x)=0{,}4x^{5/4}-\frac{8}{3}x^{3/4}$$

   $$f'(x)=0{,}4\cdot\frac{5}{4}x^{1/4}-\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{4}x^{-1/4}=\frac{x^{1/4}}{2}-2x^{-1/4}$$

   Решим неравенство:

   $$\frac{x^{1/4}}{2}-2x^{-1/4}>0$$

   Область определения: $$x>0$$.

   Умножим на $$2x^{1/4}>0$$:

   $$x^{1/2}-4>0$$

   $$\sqrt{x}>4$$

   $$x>16$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac14;+\infty\right)$$; б) $$x\in(-\infty;0)\cup(0;2)$$; в) $$x\in(0;+\infty)$$; г) $$x\in(16;+\infty)$$.