Упр.38.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) g(x) = 2корень(x) — х;
б) g(x) = 2/3 x^3/2 — 12/5 x^5/4 + 2x;
в) g(x) = 3/4 x^4/3 — 2x;
г) g(x) = 3/4 х^4/3 — 6/7 x^7/6 — 2x.

1. а) $$g(x)=2\sqrt{x}-x$$

   $$g'(x)=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1}{\sqrt{x}}-1$$

   Решим уравнение:
   $$\frac{1}{\sqrt{x}}-1=0$$
   $$\frac{1}{\sqrt{x}}=1$$
   $$\sqrt{x}=1$$
   $$x=1$$

2. б) $$g(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{12}{5}x^{5/4}+2x$$

   $$g'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{1/2}-\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{4}x^{1/4}+2$$
   $$g'(x)=\sqrt{x}-3\sqrt[4]{x}+2$$

   Обозначим $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=t^2$$. Получаем:
   $$t^2-3t+2=0$$
   $$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$
   $$t=1 \text{ или } t=2$$

   Тогда
   $$\sqrt[4]{x}=1 \Rightarrow x=1,$$
   $$\sqrt[4]{x}=2 \Rightarrow x=16.$$

3. в) $$g(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}-2x$$

   $$g'(x)=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}x^{1/3}-2=\sqrt[3]{x}-2$$

   Решим уравнение:
   $$\sqrt[3]{x}-2=0$$
   $$\sqrt[3]{x}=2$$
   $$x=8$$

4. г) $$g(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{6}{7}x^{7/6}-2x$$

   $$g'(x)=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}x^{1/3}-\frac{6}{7}\cdot \frac{7}{6}x^{1/6}-2$$
   $$g'(x)=\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2$$

   Обозначим $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2$$. Получаем:
   $$t^2-t-2=0$$
   $$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0$$
   $$t=2 \text{ или } t=-1$$

   Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0$$, подходит только $$t=2$$. Тогда
   $$\sqrt[6]{x}=2 \Rightarrow x=64.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1,\,16$$; в) $$8$$; г) $$64$$.