Упр.38.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = 2/3 х корень(х) — 2х, [1; 9];
б) у = 3/2 х^2/3 — x, (0; 8);
в) у = 2/3 x корень(x) — 2х, (1; 9);
г) У = 3/2 x^2/3 — x, [0; 8].
а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x,\quad [1;9]$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{2}{3}x^{3/2}{}’-2=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}-2=\sqrt{x}-2.$$
Критическая точка:
$$\sqrt{x}-2=0,\quad \sqrt{x}=2,\quad x=4.$$
Вычислим значения функции в концах промежутка и в критической точке:
$$y(1)=\frac{2}{3}\cdot1\cdot1-2=-\frac{4}{3},$$
$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot4\cdot2-8=\frac{16}{3}-8=-\frac{8}{3},$$
$$y(9)=\frac{2}{3}\cdot9\cdot3-18=18-18=0.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\quad y_{\max}=0.$$
б) $$y=\frac{3}{2}x^{2/3}-x,\quad (0;8)$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$
Решим уравнение $$y’=0$$:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0,\quad \frac{1}{\sqrt[3]{x}}=1,\quad x=1.$$
На промежутке $$0<x<1$$ производная положительна, а при $$x>1$$ — отрицательна, значит, в точке $$x=1$$ достигается максимум.
$$y(1)=\frac{3}{2}\cdot1-1=\frac{1}{2}.$$
Минимального значения на открытом промежутке $$ (0;8) $$ функция не достигает.
в) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x,\quad (1;9)$$
Производная та же:
$$y’=\sqrt{x}-2.$$
Критическая точка:
$$\sqrt{x}=2,\quad x=4.$$
Вычислим значение функции:
$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot4\cdot2-8=\frac{16}{3}-8=-\frac{8}{3}.$$
На открытом промежутке $$ (1;9) $$ наибольшее значение не достигается.
г) $$y=\frac{3}{2}x^{2/3}-x,\quad [0;8]$$
Производная:
$$y’=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$
Критическая точка:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0,\quad x=1.$$
Вычислим значения функции в точках $$x=0,1,8$$:
$$y(0)=0,$$
$$y(1)=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2},$$
$$y(8)=\frac{3}{2}\cdot 8^{2/3}-8=\frac{3}{2}\cdot4-8=6-8=-2.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=\frac{1}{2}.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\ y_{\max}=0$$; б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=\frac{1}{2}$$; в) $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\ y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=\frac{1}{2}$$.
