Упр.38.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = х^4 — Зх^3, а = 2;
б) у = (3)корень(Зх — 1), а = 3;
в) y = Зx^3 — 5х^2 — 4, а = 2;
г) у = (2х + 5)^-1/2, а = 2.

1. Используем формулу касательной к графику функции в точке $$x=a$$:

   $$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

2. а) $$y=x^4-3x^3,\quad a=2.$$

   $$f(2)=2^4-3\cdot 2^3=16-24=-8,$$
   $$f'(x)=4x^3-9x^2,$$
   $$f'(2)=4\cdot 2^3-9\cdot 2^2=32-36=-4.$$

   $$y=-8-4(x-2)=-8-4x+8=-4x.$$

3. б) $$y=\sqrt[3]{3x-1},\quad a=3.$$

   $$f(3)=\sqrt[3]{3\cdot 3-1}=\sqrt[3]{8}=2,$$
   $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-1)^2}},$$
   $$f'(3)=\frac{1}{\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{4}.$$

   $$y=2+\frac14(x-3)=\frac14x+\frac54.$$

4. в) $$y=3x^3-5x^2-4,\quad a=2.$$

   $$f(2)=3\cdot 2^3-5\cdot 2^2-4=24-20-4=0,$$
   $$f'(x)=9x^2-10x,$$
   $$f'(2)=9\cdot 2^2-10\cdot 2=36-20=16.$$

   $$y=16(x-2)=16x-32.$$

5. г) $$y=(2x+5)^{-\frac12},\quad a=2.$$

   $$f(2)=(2\cdot 2+5)^{-\frac12}=9^{-\frac12}=\frac13,$$
   $$f'(x)=-\frac12(2x+5)^{-\frac32}\cdot 2=-\frac{1}{\sqrt{(2x+5)^3}},$$
   $$f'(2)=-\frac{1}{\sqrt{9^3}}=-\frac{1}{27}.$$

   $$y-\frac13=-\frac{1}{27}(x-2),$$
   $$y=\frac{11}{27}-\frac{x}{27}=\frac{11-x}{27}.$$

Ответ

а) $$y=-4x$$; б) $$y=\frac14x+\frac54$$; в) $$y=16x-32$$; г) $$y=\frac{11-x}{27}$$.