Упр.38.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) g(x) = x^3 — Зкорень(х), х0 = 1;
б) g(x) = (3)корень(3x — 1), х0 = 2/3;
в) g(x) = x^-1 + x^-2, x0 = 1;
г) g(x) = 1/3(5 — 2х)^-3, x0 = 2.

1. $$g(x)=x^3-3\sqrt{x}, \quad x_0=1$$

   Найдём производную:

   $$g'(x)=(x^3)’-(3\sqrt{x})’=3x^2-\frac{3}{2\sqrt{x}}$$

   Подставим $$x_0=1$$:

   $$g'(1)=3\cdot 1^2-\frac{3}{2\sqrt{1}}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$

2. $$g(x)=\sqrt[3]{3x-1}, \quad x_0=\frac{2}{3}$$

   Представим функцию в степенном виде:

   $$g(x)=(3x-1)^{\frac13}$$

   Тогда

   $$g'(x)=\frac13(3x-1)^{-\frac23}\cdot 3=(3x-1)^{-\frac23}=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-1)^2}}$$

   Подставим $$x_0=\frac{2}{3}$$:

   $$g’\!\left(\frac23\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{(3\cdot \frac23-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{1^2}}=1$$

3. $$g(x)=x^{-1}+x^{-2}, \quad x_0=1$$

   Найдём производную:

   $$g'(x)=(x^{-1})’+(x^{-2})’=-x^{-2}-2x^{-3}$$

   Подставим $$x_0=1$$:

   $$g'(1)=-1-2=-3$$

4. $$g(x)=\frac13(5-2x)^{-3}, \quad x_0=2$$

   Найдём производную по правилу цепочки:

   $$g'(x)=\frac13\cdot(-3)(5-2x)^{-4}\cdot(-2)=2(5-2x)^{-4}=\frac{2}{(5-2x)^4}$$

   Подставим $$x_0=2$$:

   $$g'(2)=\frac{2}{(5-2\cdot 2)^4}=\frac{2}{1^4}=2$$

Ответ

а) $$\frac{3}{2}$$; б) $$1$$; в) $$-3$$; г) $$2$$.