Упр.36.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 36.30 Упростите выражение: *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 mord10-11 36-30 109

1. а)

   $$\frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$

   Используем свойства корней:
   $$\sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}=\frac{\sqrt[4]{b^2}}{\sqrt[4]{a}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}}, \qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

   Тогда
   $$\frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}} =\frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}}} =\frac{a}{a+b}.$$

   Получаем:
   $$ \frac{a}{a+b}-\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} =\frac{a(a-b)-(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)}. $$

   Преобразуем числитель:
   $$ a(a-b)-(a^2+b^2)=a^2-ab-a^2-b^2=-b(a+b). $$

   Тогда
   $$ \frac{-b(a+b)}{(a-b)(a+b)}=-\frac{b}{a-b}=\frac{b}{b-a}. $$

2. б)

   $$ \frac{\left(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n}\right)^2+\left(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}\right)^2}{2(m-n)}:\frac{1}{\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}}-3\sqrt{mn} $$

   Раскроем скобки в числителе:
   $$ \left(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n}\right)^2+\left(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}\right)^2 =2\sqrt{m}+2\sqrt{n}. $$

   Тогда
   $$ \frac{2(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{2(m-n)}:\frac{1}{\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}}-3\sqrt{mn} =\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{m-n}\cdot(\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3})-3\sqrt{mn}. $$

   Разложим разность кубов:
   $$ \sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}=m\sqrt{m}-n\sqrt{n}=(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n). $$

   А также
   $$ m-n=(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n}). $$

   Поэтому
   $$ \frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{m-n}\cdot(\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}) =m+\sqrt{mn}+n. $$

   Тогда всё выражение равно
   $$ m+\sqrt{mn}+n-3\sqrt{mn}=m-2\sqrt{mn}+n=(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2. $$

Ответ

а) $$\frac{b}{b-a}$$; б) $$\left(\sqrt{m}-\sqrt{n}\right)^2$$.