Упр.36.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (4 — 3корень(2)) / ((4)корень(2) — (4)корень(8))^2;
б) ((3)корень(9) + корень(3)) / ((3)корень(3) + 2 (6)корень(3) + 1;

1. а) $$\frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2}$$

   Так как $$\sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{2^3}=\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt2,$$ то

   $$ \left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2 = \left(\sqrt[4]{2}\right)^2+\left(\sqrt[4]{8}\right)^2-2\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{8} = \sqrt2+\sqrt8-2\sqrt[4]{16} $$

   $$ =\sqrt2+2\sqrt2-2\cdot2 =3\sqrt2-4. $$

   Тогда
   $$ \frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2} = \frac{4-3\sqrt2}{3\sqrt2-4} = -1. $$

2. б) $$\frac{\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1}$$

   Раскроем квадрат числителя:
   $$ \left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2 = \sqrt[3]{81}+2\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt3+3. $$

   Так как $$\sqrt[3]{81}=3\sqrt[3]{3},$$ а $$\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt3=\sqrt[3]{27}=3,$$ получаем
   $$ \left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2 = 3\sqrt[3]{3}+6+3 = 3\left(\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1\right). $$

   Тогда
   $$ \frac{\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1}=3. $$

3. в) $$\frac{\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt3+3\sqrt6}$$

   Вынесем общий множитель в числителе:
   $$ \sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}=\sqrt[4]{6}\left(\sqrt[4]{4}+1\right)=\sqrt[4]{6}\left(\sqrt2+1\right). $$

   Тогда
   $$ \left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2 = \sqrt6\left(\sqrt2+1\right)^2 = \sqrt6\left(3+2\sqrt2\right). $$

   Знаменатель:
   $$ 4\sqrt3+3\sqrt6=\sqrt3\left(4+3\sqrt2\right). $$

   Получаем
   $$ \frac{\sqrt6\left(3+2\sqrt2\right)}{\sqrt3\left(4+3\sqrt2\right)} = \frac{\sqrt2\left(3+2\sqrt2\right)}{4+3\sqrt2} = \frac{3\sqrt2+4}{4+3\sqrt2} = 1. $$

4. г) $$\frac{1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5}{\left(\sqrt3-\sqrt[4]{45}\right)^2}$$

   Так как $$\sqrt[4]{45}=\sqrt[4]{9\cdot5}=\sqrt3\cdot\sqrt[4]{5},$$ то
   $$ \left(\sqrt3-\sqrt[4]{45}\right)^2 = \left(\sqrt3-\sqrt3\sqrt[4]{5}\right)^2 = (\sqrt3)^2\left(1-\sqrt[4]{5}\right)^2. $$

   А числитель:
   $$ 1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5=\left(1-\sqrt[4]{5}\right)^2. $$

   Тогда
   $$ \frac{1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5}{\left(\sqrt3-\sqrt[4]{45}\right)^2} = \frac{\left(1-\sqrt[4]{5}\right)^2}{(\sqrt3)^2\left(1-\sqrt[4]{5}\right)^2} = \frac{1}{3}. $$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$3$$; в) $$1$$; г) $$\frac13$$.