Упр.36.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) корень(3 (3)корень(4)), (3)корень(5корень(3)) и (6)корень(100);
б) (5)корень(4), (6)корень(3 (5)корень(3)) и (10)корень(25);
в) (5)корень(3корень(4)), (3)корень(2) и (3)корень(2 (5)корень(2));
г) (16)корень(64), (48)корень(7корень(7)) и (4)корень(2корень(1,25)).

Подробный ответ

а) Приведём все выражения к корню одной степени:
$$\sqrt{3\sqrt[3]{4}}=\sqrt[6]{3^3\cdot 4}=\sqrt[6]{108}$$
$$\sqrt[3]{5\sqrt{3}}=\sqrt[6]{5^2\cdot 3}=\sqrt[6]{75}$$
$$\sqrt[6]{100}=\sqrt[6]{100}$$
Так как $$75<100<108,$$ то
$$\sqrt[3]{5\sqrt{3}}<\sqrt[6]{100}<\sqrt{3\sqrt[3]{4}}.$$
б) Приведём к корню одной степени:
$$\sqrt[5]{4}=\sqrt[10]{4^2}=\sqrt[10]{16}$$
$$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}=\sqrt[6]{3\cdot 3^{1/5}}=\sqrt[6]{3^{6/5}}=\sqrt[5]{3}$$
$$\sqrt[10]{25}=\sqrt[10]{25}$$
Сравним подкоренные выражения в одинаковой степени:
$$3<4<25,$$
значит
$$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}<\sqrt[5]{4}<\sqrt[10]{25}.$$
в) Приведём к корню одной степени:
$$\sqrt[5]{3\sqrt{4}}=\sqrt[5]{6}=\sqrt[10]{36}$$
$$\sqrt[3]{2}=\sqrt[15]{2^5}=\sqrt[15]{32}$$
$$\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}=\sqrt[15]{2^6}=\sqrt[15]{64}$$
Так как $$32<64<216,$$ то
$$\sqrt[3]{2}<\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}<\sqrt[5]{3\sqrt{4}}.$$
г) Приведём к корню одной степени:
$$\sqrt[16]{64}=\sqrt[32]{64^2}=\sqrt[32]{4096}$$
$$\sqrt[48]{7\sqrt{7}}=\sqrt[48]{7^{3/2}}=\sqrt[32]{7}$$
$$\sqrt[4]{2\sqrt{1{,}25}}=\sqrt[8]{4\cdot 1{,}25}=\sqrt[8]{5}=\sqrt[32]{625}$$
Так как $$7<625<4096,$$ то
$$\sqrt[48]{7\sqrt{7}}<\sqrt[4]{2\sqrt{1{,}25}}<\sqrt[16]{64}.$$