Упр.36.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (5)корень(2 (3)корень(2корень(2)));
б) (4)корень(4/3 (3)корень(3/4 корень(4/3)));
в) (3)корень(2/3 (3)корень(3/2 корень(2/3)));
г) корень(3 (4)корень(3 (3)корень(3))).

1. а)

   $$\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}=\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\cdot 2^{1/2}}}=\sqrt[5]{2\cdot 2^{1/6}}=\sqrt[5]{2^{7/6}}=\sqrt[30]{2^7}=\sqrt[10]{8}.$$

2. б)

   $$\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}}}=\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{1/2}}}=\sqrt[4]{\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{1/3}\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{1/6}}$$
   $$=\sqrt[4]{\left(\frac{4}{3}\right)^{1-\frac13+\frac16}}=\sqrt[4]{\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac56}}=\sqrt[24]{\left(\frac{4}{3}\right)^5}=\sqrt[24]{\frac{1024}{243}}.$$

3. в)

   $$\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}}=\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2}}}=\sqrt[3]{\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{1/3}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{1/6}}$$
   $$=\sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^{1-\frac13+\frac16}}=\sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac56}}=\sqrt[18]{\left(\frac{2}{3}\right)^5}=\sqrt[18]{\frac{32}{243}}.$$

4. г)

   $$\sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}}=\sqrt{3\sqrt[4]{3\cdot 3^{1/3}}}=\sqrt{3\cdot 3^{1/3}\cdot 3^{1/12}}=\sqrt{3^{1+\frac13+\frac1{12}}}$$
   $$=\sqrt{3^{\frac{17}{12}}}=3^{\frac{17}{24}}=\sqrt[24]{3^{17}}=\sqrt[3]{9}.$$

Ответ

а) $$\sqrt[10]{8}$$; б) $$\sqrt[24]{\frac{1024}{243}}$$; в) $$\sqrt[18]{\frac{32}{243}}$$; г) $$\sqrt[3]{9}$$.