Упр.32.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

у = х^3 — 9х^2 + 24x — 1 на отрезке:
а) [-1; 3];
б) [3; 6];
в) [-2; 3];
г) [3; 5].

Найдём производную функции:

$$y=x^3-9x^2+24x-1$$

$$y’ = 3x^2-18x+24 = 3(x^2-6x+8)=3(x-2)(x-4)$$

Критические точки: $$x=2$$ и $$x=4$$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке нужно сравнить значения функции в концах отрезка и в критических точках, если они принадлежат отрезку.

а) $$[-1;3]$$

$$y(-1)=(-1)^3-9(-1)^2+24(-1)-1=-1-9-24-1=-35$$

$$y(2)=2^3-9\cdot 2^2+24\cdot 2-1=8-36+48-1=19$$

$$y(3)=3^3-9\cdot 3^2+24\cdot 3-1=27-81+72-1=17$$

Следовательно, $$y_{\min}=-35$$, $$y_{\max}=19$$.

б) $$[3;6]$$

$$y(3)=17$$

$$y(4)=4^3-9\cdot 4^2+24\cdot 4-1=64-144+96-1=15$$

$$y(6)=6^3-9\cdot 6^2+24\cdot 6-1=216-324+144-1=35$$

Следовательно, $$y_{\min}=15$$, $$y_{\max}=35$$.

в) $$[-2;3]$$

$$y(-2)=(-2)^3-9(-2)^2+24(-2)-1=-8-36-48-1=-93$$

$$y(2)=19$$

$$y(3)=17$$

Следовательно, $$y_{\min}=-93$$, $$y_{\max}=19$$.

г) $$[3;5]$$

$$y(3)=17$$

$$y(4)=15$$

$$y(5)=5^3-9\cdot 5^2+24\cdot 5-1=125-225+120-1=19$$

Следовательно, $$y_{\min}=15$$, $$y_{\max}=19$$.

Ответ

а) $$y_{\min}=-35$$, $$y_{\max}=19$$; б) $$y_{\min}=15$$, $$y_{\max}=35$$; в) $$y_{\min}=-93$$, $$y_{\max}=19$$; г) $$y_{\min}=15$$, $$y_{\max}=19$$.