Упр.32.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = х^2 — 8х + 19, [-1; 5];
б) у = х^2 + 4х — 3, [0; 2];
в) у = 2x^2 — 8х + 6, [-1; 4];
г) у = -Зх^2 + 6x — 10, [-2; 9].

1. а) $$y=x^2-8x+19,\quad x\in[-1;5]$$

   Найдём производную:

   $$y’=(x^2-8x+19)’=2x-8=2(x-4)$$

   Критическая точка: $$2(x-4)=0 \Rightarrow x=4.$$

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

   $$y(-1)=(-1)^2-8\cdot(-1)+19=28$$

   $$y(4)=4^2-8\cdot4+19=3$$

   $$y(5)=5^2-8\cdot5+19=4$$

   Следовательно, $$y_{\min}=3,\quad y_{\max}=28.$$

2. б) $$y=x^2+4x-3,\quad x\in[0;2]$$

   Найдём производную:

   $$y’=(x^2+4x-3)’=2x+4=2(x+2)$$

   Критическая точка: $$2(x+2)=0 \Rightarrow x=-2,$$ но она не принадлежит отрезку $$[0;2].$$

   Значит, на отрезке функция возрастает. Проверим концы отрезка:

   $$y(0)=0^2+4\cdot0-3=-3$$

   $$y(2)=2^2+4\cdot2-3=9$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-3,\quad y_{\max}=9.$$

3. в) $$y=2x^2-8x+6,\quad x\in[-1;4]$$

   Найдём производную:

   $$y’=(2x^2-8x+6)’=4x-8=4(x-2)$$

   Критическая точка: $$4(x-2)=0 \Rightarrow x=2.$$

   Вычислим значения функции:

   $$y(-1)=2\cdot(-1)^2-8\cdot(-1)+6=16$$

   $$y(2)=2\cdot2^2-8\cdot2+6=-2$$

   $$y(4)=2\cdot4^2-8\cdot4+6=6$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=16.$$

4. г) $$y=-3x^2+6x-10,\quad x\in[-2;9]$$

   Найдём производную:

   $$y’=(-3x^2+6x-10)’=-6x+6=-6(x-1)$$

   Критическая точка: $$-6(x-1)=0 \Rightarrow x=1.$$

   Вычислим значения функции:

   $$y(-2)=-3\cdot(-2)^2+6\cdot(-2)-10=-34$$

   $$y(1)=-3\cdot1^2+6\cdot1-10=-7$$

   $$y(9)=-3\cdot9^2+6\cdot9-10=-199$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-199,\quad y_{\max}=-7.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=3,\ y_{\max}=28$$; б) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=9$$; в) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=16$$; г) $$y_{\min}=-199,\ y_{\max}=-7$$.