Упр.32.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Пешеход по дороге идёт со скоростью 5 км/ч, а по лесу— 3 км/ч.
За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?

Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра, опущенного из базы на дорогу, а через $$D$$ — станцию. Тогда $$BH=5$$ км, $$BD=13$$ км, значит

$$ DH=\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12. $$

Пусть пешеход выходит на дорогу в точке $$E$$, причём $$ED=x$$. Тогда

$$ HE=DH-ED=12-x, $$

а расстояние по лесу равно

$$ BE=\sqrt{BH^2+HE^2}=\sqrt{5^2+(12-x)^2}=\sqrt{169-24x+x^2}. $$

Время движения:

$$ t(x)=\frac{ED}{5}+\frac{BE}{3}=\frac{x}{5}+\frac{\sqrt{169-24x+x^2}}{3}. $$

Найдём минимум функции:

$$ t'(x)=\frac15+\frac{1}{3}\cdot\frac{x-12}{\sqrt{169-24x+x^2}}. $$

Приравняем производную к нулю:

$$ \frac15+\frac{x-12}{3\sqrt{169-24x+x^2}}=0. $$

Отсюда

$$ 3\sqrt{169-24x+x^2}=5(12-x). $$

Возведём в квадрат:

$$ 9(169-24x+x^2)=25(12-x)^2, $$
$$ 1521-216x+9x^2=3600-600x+25x^2, $$
$$ 16x^2-384x+2079=0. $$

Решая квадратное уравнение, получаем

$$ x=\frac{33}{4}\quad \text{или}\quad x=\frac{63}{4}. $$

Подходит точка минимума $$x=\frac{33}{4}$$. Тогда

$$ t_{\min}=\frac{33}{4\cdot 5}+\frac{\sqrt{169-24\cdot \frac{33}{4}+\left(\frac{33}{4}\right)^2}}{3} =\frac{33}{20}+\frac{25}{12}. $$

$$ t_{\min}=\frac{99}{60}+\frac{125}{60}=\frac{224}{60}=\frac{56}{15}=3\frac{11}{15}\text{ ч}. $$

Это равно $$3$$ ч $$44$$ мин.

Ответ

$$3\text{ ч }44\text{ мин}$$