Упр.32.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Впишите в пятиугольник прямоугольник наибольшей площади и вычислите эту площадь, если:
а) а = 7, b = 9, с = 3, m = 5;
б) а = 7, b = 18, с = 3, m = 1.

Обозначим через $$x$$ ширину вписанного прямоугольника, а через $$y$$ его высоту. Тогда его площадь равна $$S=xy$$.

Рассмотрим два возможных положения прямоугольника.

1. Если прямоугольник опирается на стороны $$AB$$ и $$AE$$, то его площадь равна

   $$S_1=AB\cdot AE=a c.$$

2. Если прямоугольник вписан в прямоугольную трапецию, образованную сторонами $$BC$$, $$CD$$ и $$DE$$, то его площадь равна

   $$S_2=\frac12(AB-DE)(BC+AE)=\frac12(a-m)(b+c).$$

Сравним эти площади для каждого случая.

а) $$a=7,\ b=9,\ c=3,\ m=5.$$

$$S_1=7\cdot 3=21,$$

$$S_2=\frac12(7-5)(9+3)=\frac12\cdot 2\cdot 12=12.$$

Значит, наибольшая площадь равна $$21$$.

б) $$a=7,\ b=18,\ c=3,\ m=1.$$

$$S_1=7\cdot 3=21,$$

$$S_2=\frac12(7-1)(18+3)=\frac12\cdot 6\cdot 21=63.$$

Значит, наибольшая площадь равна $$63$$.

Ответ

а) $$21$$; б) $$63$$.