Упр.32.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Чему равна эта площадь, если:
а) а = 80, b = 60, h = 100;
б) а = 24, b = 8, h = 12?
Обозначим через $$x$$ ширину вырезаемого прямоугольника, тогда его высота равна $$y$$. Верхняя правая вершина прямоугольника лежит на боковой стороне трапеции, поэтому из подобия соответствующих прямоугольных треугольников получаем линейную зависимость:
$$y=h-\frac{h}{a-b}x.$$
Тогда площадь прямоугольника
$$S(x)=xy=x\left(h-\frac{h}{a-b}x\right)=hx-\frac{h}{a-b}x^2.$$
Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит максимум достигается в вершине:
$$x_0=\frac{h}{2\cdot \frac{h}{a-b}}=\frac{a-b}{2}.$$
Но при этом нужно учитывать, что ширина прямоугольника не может превышать меньшее основание трапеции. Поэтому:
если $$\frac{a}{2}\le b$$, то максимальная площадь равна $$bh$$;
если $$\frac{a}{2}>b$$, то максимум достигается при $$x=\frac{a}{2}$$ и
$$S_{\max}=\frac{a^2h}{4(a-b)}.$$
Теперь подставим данные.
а) $$a=80,\ b=60,\ h=100.$$
$$\frac{a}{2}=40<60,$$
значит
$$S_{\max}=bh=60\cdot 100=6000.$$
б) $$a=24,\ b=8,\ h=12.$$
$$\frac{a}{2}=12>8,$$
значит
$$S_{\max}=\frac{a^2h}{4(a-b)}=\frac{24^2\cdot 12}{4(24-8)}=\frac{576\cdot 12}{64}=108.$$
Ответ
а) $$6000$$; б) $$108$$.
