Упр.32.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При какой длине бокового ребра объём призмы будет наибольшим?

Пусть $$a$$ — длина бокового ребра призмы, а $$x$$ — сторона основания. Тогда диагональ боковой грани удовлетворяет равенству

$$x^2+a^2=d^2,$$

откуда

$$x^2=d^2-a^2.$$

Объём призмы:

$$V(a)=x^2\cdot a=(d^2-a^2)a=d^2a-a^3.$$

Найдём производную:

$$V'(a)=d^2-3a^2.$$

Для максимума объёма приравняем производную к нулю:

$$d^2-3a^2=0,$$

$$3a^2=d^2,$$

$$a^2=\frac{d^2}{3},$$

$$a=\frac{d}{\sqrt{3}}.$$

При этом объём действительно достигает наибольшего значения, так как при $$a>0$$ функция $$V(a)$$ сначала возрастает, а затем убывает.

Ответ

$$\frac{d}{\sqrt{3}}$$