Упр.32.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина: 32.30 На графике функции у = х^2 найдите точку М, ближайшую к точке А(0; 1,5). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10-11 mord10-11 32-30 109

Пусть точка на параболе $$y=x^2$$ имеет координаты $$M(x;x^2)$$.

Тогда квадрат расстояния от точки $$A(0;1{,}5)$$ до точки $$M$$ равен

$$ AM^2=(x-0)^2+(x^2-1{,}5)^2 $$

$$ AM^2=x^2+x^4-3x^2+2{,}25=x^4-2x^2+2{,}25. $$

Найдём минимум функции

$$f(x)=x^4-2x^2+2{,}25.$$

Её производная:

$$ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1). $$

Критические точки:

$$x=-1,\;0,\;1.$$

Проверим значения функции в этих точках:

$$ f(-1)=1-2+2{,}25=1{,}25, $$

$$ f(0)=2{,}25, $$

$$ f(1)=1-2+2{,}25=1{,}25. $$

Наименьшее значение достигается при $$x=\pm 1$$. Тогда

$$y=x^2=1.$$

Следовательно, ближайшие к точке $$A(0;1{,}5)$$ точки параболы:

$$M_1(-1;1),\quad M_2(1;1).$$

Ответ

$$M_1(-1;1),\; M_2(1;1).$$