Упр.32.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

На сторонах АВ и ВС взяты соответственно точки Р и Е так, что BP = BE = 3 см.
На сторонах AD и CD берутся точки соответственно К и М так, что четырёхугольник КРЕМ — трапеция.
Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?

Подробный ответ

Обозначим $$AK=CM=x.$$ Тогда

$$PA=EC=8-3=5,$$
$$KD=DM=8-x.$$

Так как $$BP=BE=3,$$ то треугольник $$PBE$$ равнобедренный и прямоугольный, значит

$$\angle BPE=\angle BEP=45^\circ,$$
$$S_{PBE}=\frac12\cdot PB\cdot BE=\frac12\cdot 3\cdot 3=\frac92.$$

Поскольку $$PE \parallel KM,$$ а стороны квадрата параллельны, получаем, что треугольники $$APK$$ и $$CEM$$ прямоугольные, поэтому

$$S_{APK}=S_{CEM}=\frac12\cdot 5\cdot x=\frac{5x}{2}.$$

Треугольник $$KDM$$ прямоугольный, и его площадь равна

$$S_{KDM}=\frac12\cdot KD\cdot DM=\frac12(8-x)x=\frac{8x-x^2}{2}.$$

Тогда площадь трапеции:

$$ S(x)=S_{ABCD}-S_{PBE}-S_{KDM}-S_{APK}-S_{CEM} $$
$$ S(x)=64-\frac92-\frac{8x-x^2}{2}-\frac{5x}{2}-\frac{5x}{2} $$
$$ S(x)=64-\frac92-4x+\frac{x^2}{2}-5x $$
$$ S(x)=\frac{x^2}{2}-9x+\frac{119}{2}. $$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, значит наибольшее значение на отрезке достигается на концах. Но по условию трапеция существует при $$0\le x\le 8,$$ а максимум площади здесь достигается при $$x=3.$$ Тогда

$$ S_{\max}=S(3)=\frac{9}{2}-27+\frac{119}{2}=32. $$