Упр.32.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = x^3 — 2x^2 + 1, [0,5; +бесконечность);
б) у = х — 2корень(х), [0; +бесконечность);
в) у = 1/5 x^5 — x^2, (-бесконечность; 1];
г) у = x^4 / (x^4 + 1), (-бесконечность; +бесконечность).
$$y=x^3-2x^2+1,\quad [0{,}5;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’ = 3x^2-4x = x(3x-4)$$
Критическая точка на данном промежутке: $$x=\frac{4}{3}$$.
Вычислим значения функции в концах и в критической точке:
$$y\!\left(0{,}5\right)=\left(0{,}5\right)^3-2\left(0{,}5\right)^2+1=\frac{5}{8}$$
$$y\!\left(\frac{4}{3}\right)=\left(\frac{4}{3}\right)^3-2\left(\frac{4}{3}\right)^2+1=-\frac{5}{27}$$
При $$x\to+\infty$$ имеем $$y\to+\infty$$, значит наибольшего значения на промежутке нет.
$$y=x-2\sqrt{x},\quad [0;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’ = 1-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$$
Критическая точка: $$x=1$$.
Вычислим значения функции:
$$y(0)=0-2\sqrt{0}=0$$
$$y(1)=1-2\sqrt{1}=-1$$
При $$x\to+\infty$$ имеем $$y\to+\infty$$, значит наибольшего значения на промежутке нет.
$$y=\frac{1}{5}x^5-x^2,\quad (-\infty;1]$$
Найдём производную:
$$y’ = x^4-2x = x(x^3-2)$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\sqrt[3]{2}$$, но на данном промежутке лежит только $$x=0$$.
Вычислим значения функции:
$$y(0)=0$$
$$y(1)=\frac{1}{5}-1=-\frac{4}{5}$$
При $$x\to-\infty$$ имеем $$y\to-\infty$$, значит наименьшего значения на промежутке нет.
$$y=\frac{x^4}{x^4+1},\quad (-\infty;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(x^4)'(x^4+1)-x^4(x^4+1)’}{(x^4+1)^2}=\frac{4x^3(x^4+1)-4x^7}{(x^4+1)^2}=\frac{4x^3}{(x^4+1)^2}$$
Критическая точка: $$x=0$$.
$$y(0)=\frac{0^4}{0^4+1}=0$$
При $$x\to\pm\infty$$ имеем
$$\frac{x^4}{x^4+1}\to 1$$
Следовательно, наименьшее значение достигается при $$x=0$$, а наибольшего значения функция не принимает.
Ответ
а) $$y_{\min}=-\frac{5}{27}$$, $$y_{\max}$$ нет.
б) $$y_{\min}=-1$$, $$y_{\max}$$ нет.
в) $$y_{\min}$$ нет, $$y_{\max}=0$$.
г) $$y_{\min}=0$$, $$y_{\max}$$ нет.
