Упр.32.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = ctg х + х, х принадлежит [пи/4; 3пи/4];
б) у = 2sin x — х, х принадлежит [0; пи];
в) у = 2cos х + x, х принадлежит [-пи/2; пи/2];
г) y = tg x — х, х принадлежит [0; пи/3].

1. $$y=\ctg x+x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$

   $$y’=-\frac{1}{\sin^2 x}+1=\frac{\sin^2 x-1}{\sin^2 x}\le 0$$

   Значит, функция убывает на данном отрезке, поэтому

   $$y_{\max}=y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=1+\frac{\pi}{4}$$

   $$y_{\min}=y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\ctg\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=-1+\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi-4}{4}$$

   Следовательно,

   $$y\in\left[\frac{3\pi-4}{4};\frac{\pi+4}{4}\right]$$

2. $$y=2\sin x-x,\quad x\in[0;\pi]$$

   $$y’=2\cos x-1$$

   $$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}$$

   Считаем значения функции в концах отрезка и в критической точке:

   $$y(0)=0$$

   $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$$

   $$y(\pi)=2\sin\pi-\pi=-\pi$$

   Значит,

   $$y\in\left[-\pi;\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right]$$

3. $$y=2\cos x+x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$y’=-2\sin x+1$$

   $$-2\sin x+1=0 \Rightarrow \sin x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}$$

   Вычислим значения функции:

   $$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$$

   $$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}$$

   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$$

   Следовательно,

   $$y\in\left[-\frac{\pi}{2};\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}\right]$$

4. $$y=\tg x-x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{3}\right]$$

   $$y’=\frac{1}{\cos^2 x}-1=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\ge 0$$

   Значит, функция возрастает на данном отрезке, поэтому

   $$y_{\min}=y(0)=0$$

   $$y_{\max}=y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tg\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$$

   Следовательно,

   $$y\in\left[0;\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right]$$

Ответ

а) $$\left[\frac{3\pi-4}{4};\frac{\pi+4}{4}\right]$$; б) $$\left[-\pi;\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right]$$; в) $$\left[-\frac{\pi}{2};\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}\right]$$; г) $$\left[0;\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right]$$.