Упр.32.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
у = х^3 — 9х^2 + 15x — 3 на отрезке:
а) [0; 2];
б) [3; 6];
в) [-1; 3];
г) [2; 7].
Найдём производную функции:
$$y=x^3-9x^2+15x-3$$
$$y'(x)=3x^2-18x+15=3(x^2-6x+5)=3(x-1)(x-5)$$
Критические точки: $$x=1$$ и $$x=5$$.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке нужно вычислить значения функции в концах отрезка и в критических точках, если они принадлежат отрезку.
На отрезке $$[0;2]$$:
$$y(0)=-3$$
$$y(1)=1-9+15-3=4$$
$$y(2)=8-36+30-3=-1$$
Значит, $$y_{\min}=-3$$, $$y_{\max}=4$$.
На отрезке $$[3;6]$$:
$$y(3)=27-81+45-3=-12$$
$$y(5)=125-225+75-3=-28$$
$$y(6)=216-324+90-3=-21$$
Значит, $$y_{\min}=-28$$, $$y_{\max}=-12$$.
На отрезке $$[-1;3]$$:
$$y(-1)=-1-9-15-3=-28$$
$$y(1)=4$$
$$y(3)=-12$$
Значит, $$y_{\min}=-28$$, $$y_{\max}=4$$.
На отрезке $$[2;7]$$:
$$y(2)=-1$$
$$y(5)=-28$$
$$y(7)=343-441+105-3=4$$
Значит, $$y_{\min}=-28$$, $$y_{\max}=4$$.
Ответ
а) $$y_{\min}=-3$$, $$y_{\max}=4$$;
б) $$y_{\min}=-28$$, $$y_{\max}=-12$$;
в) $$y_{\min}=-28$$, $$y_{\max}=4$$;
г) $$y_{\min}=-28$$, $$y_{\max}=4$$.
