Упр.31.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) У = (x + 2) / (х — 3);
б) у = (3x — 4) / (х — 2);
в) y = (x — 3) / (x + 1);
г) y = (2х + 1) / (x + 2).
а) $$y=\frac{x+2}{x-3}$$
Область определения: $$x\neq 3,$$ то есть $$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$
Асимптоты: $$x=3,$$ $$y=1.$$
$$ y’=\frac{(x+2)'(x-3)-(x+2)(x-3)’}{(x-3)^2} =\frac{(x-3)-(x+2)}{(x-3)^2} =\frac{-5}{(x-3)^2}<0. $$
Следовательно, функция убывает на всей области определения.
Для построения можно взять точки: $$(-2;0),\ (2;-4),\ (4;6),\ (8;2).$$
б) $$y=\frac{3x-4}{x-2}$$
Область определения: $$x\neq 2,$$ то есть $$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$
Асимптоты: $$x=2,$$ $$y=3.$$
$$ y’=\frac{(3x-4)'(x-2)-(3x-4)(x-2)’}{(x-2)^2} =\frac{3(x-2)-(3x-4)}{(x-2)^2} =\frac{-2}{(x-2)^2}<0. $$
Следовательно, функция убывает на всей области определения.
Для построения можно взять точки: $$ (0;2),\ (1;1),\ (3;5),\ (4;4). $$
в) $$y=\frac{x-3}{x+1}$$
Область определения: $$x\neq -1,$$ то есть $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
Асимптоты: $$x=-1,$$ $$y=1.$$
$$ y’=\frac{(x-3)'(x+1)-(x-3)(x+1)’}{(x+1)^2} =\frac{(x+1)-(x-3)}{(x+1)^2} =\frac{4}{(x+1)^2}>0. $$
Следовательно, функция возрастает на всей области определения.
Для построения можно взять точки: $$(-5;2),\ (-2;5),\ (0;-3),\ (3;0).$$
г) $$y=\frac{2x+1}{x+2}$$
Область определения: $$x\neq -2,$$ то есть $$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
Асимптоты: $$x=-2,$$ $$y=2.$$
$$ y’=\frac{(2x+1)'(x+2)-(2x+1)(x+2)’}{(x+2)^2} =\frac{2(x+2)-(2x+1)}{(x+2)^2} =\frac{3}{(x+2)^2}>0. $$
Следовательно, функция возрастает на всей области определения.
Для построения можно взять точки: $$(-5;3),\ (-3;5),\ (-1;-1),\ (1;1).$$
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty),$$ асимптоты $$x=3,\ y=1,$$ функция убывает.
б) $$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),$$ асимптоты $$x=2,\ y=3,$$ функция убывает.
в) $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty),$$ асимптоты $$x=-1,\ y=1,$$ функция возрастает.
г) $$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty),$$ асимптоты $$x=-2,\ y=2,$$ функция возрастает.
