Упр.31.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = (х — 1)^2 (х + 2);
б) У = 256/9 х(х — 1)^3;
в) y = (x + 2)^2 (x — 3);
г) у = x^3 (2 — x).

1. а) $$y=(x-1)^2(x+2)$$

   $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$

   $$y’ = 2(x-1)(x+2)+(x-1)^2 = (x-1)(3x+3)=3(x-1)(x+1)$$

   $$y’=0 \text{ при } x=-1,\; x=1$$

   Знаки производной:

   $$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-1;1)$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$ и убывает на $$(-1;1)$$.

   $$y_{\max}=y(-1)=(-2)^2\cdot 1=4$$

   $$y_{\min}=y(1)=0$$

   Точки для построения графика: $$(-2;0),\ (0;2),\ (2;4)$$.

2. б) $$y=\frac{256}{9}x(x-1)^3$$

   $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$

   $$y’=\frac{256}{9}\bigl((x-1)^3+3x(x-1)^2\bigr)=\frac{256}{9}(x-1)^2(4x-1)$$

   $$y’=0 \text{ при } x=\frac14,\; x=1$$

   Так как $$\frac{256}{9}(x-1)^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$4x-1$$.

   $$y'<0 \text{ при } x<\frac14,\qquad y’>0 \text{ при } x>\frac14$$

   Значит, функция убывает на $$(-\infty;\frac14)$$ и возрастает на $$(\frac14;+\infty)$$.

   $$y_{\min}=y\!\left(\frac14\right)=\frac{256}{9}\cdot\frac14\cdot\left(-\frac34\right)^3=-3$$

   Точки для построения графика: $$(-1;\frac{2048}{9}),\ (0;0),\ (1;0),\ (2;\frac{512}{9})$$.

3. в) $$y=(x+2)^2(x-3)$$

   $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$

   $$y’ = 2(x+2)(x-3)+(x+2)^2=(x+2)(3x-4)$$

   $$y’=0 \text{ при } x=-2,\; x=\frac43$$

   $$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(\frac43;+\infty), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-2;\frac43)$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(\frac43;+\infty)$$ и убывает на $$(-2;\frac43)$$.

   $$y_{\max}=y(-2)=0$$

   $$y_{\min}=y\!\left(\frac43\right)=\left(\frac{10}{3}\right)^2\left(-\frac53\right)=-\frac{500}{27}=-18\frac{14}{27}$$

   Точки для построения графика: $$(-3;-6),\ (0;-12),\ (3;0)$$.

4. г) $$y=x^3(2-x)$$

   $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$

   $$y’ = 3x^2(2-x)-x^3 = 6x^2-4x^3 = 2x^2(3-2x)$$

   $$y’=0 \text{ при } x=0,\; x=\frac32$$

   $$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;\frac32), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(\frac32;+\infty)$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;\frac32)$$ и убывает на $$(\frac32;+\infty)$$.

   $$y_{\max}=y\!\left(\frac32\right)=\left(\frac32\right)^3\left(2-\frac32\right)=\frac{27}{8}\cdot\frac12=\frac{27}{16}=1\frac{11}{16}$$

   Точки для построения графика: $$(-2;-32),\ (0;0),\ (2;0),\ (3;-27)$$.

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ \text{возрастает на }(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),\ \text{убывает на }(-1;1),\ y_{\max}=4,\ y_{\min}=0.$$
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ \text{убывает на }(-\infty;\frac14),\ \text{возрастает на }(\frac14;+\infty),\ y_{\min}=-3.$$
в) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ \text{возрастает на }(-\infty;-2)\cup(\frac43;+\infty),\ \text{убывает на }(-2;\frac43),\ y_{\max}=0,\ y_{\min}=-\frac{500}{27}.$$
г) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ \text{возрастает на }(-\infty;\frac32),\ \text{убывает на }(\frac32;+\infty),\ y_{\max}=\frac{27}{16}.$$