Упр.31.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = 2х^3 + x^2 — 8x — 7;
б) у = -x^3/3 + х^2 + Зх — 11/3;
в) у = х^3 + х^2 — х — 1;
г) у = x^3/3 + х^2 — Зх + 5/3.
а) $$y=2x^3+x^2-8x-7$$
$$y’ = 6x^2+2x-8 = 2(3x^2+x-4)=2(3x-4)(x+1)$$
$$y’=0 \iff x=-1,\; x=\frac{4}{3}$$
Знаки производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac{4}{3};+\infty\right),\qquad y'<0 \text{ при } x\in\left(-1;\frac{4}{3}\right)$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup\left(\frac{4}{3};+\infty\right)$$ и убывает на $$\left(-1;\frac{4}{3}\right).$$
$$y(-1)=2(-1)^3+(-1)^2-8(-1)-7=2$$
$$y\left(\frac{4}{3}\right)=2\left(\frac{4}{3}\right)^3+\left(\frac{4}{3}\right)^2-8\cdot\frac{4}{3}-7=-\frac{257}{27}$$
Точка локального максимума: $$(-1;2)$$, точка локального минимума: $$\left(\frac{4}{3};-\frac{257}{27}\right).$$
б) $$y=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x-\frac{11}{3}$$
$$y’=-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3)$$
$$y’=0 \iff x=-1,\; x=3$$
$$y’>0 \text{ при } x\in[-1;3],\qquad y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)$$
Функция возрастает на $$[-1;3]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).$$
$$y(-1)=-\frac{(-1)^3}{3}+(-1)^2+3(-1)-\frac{11}{3}=-\frac{16}{3}$$
$$y(3)=-\frac{27}{3}+9+9-\frac{11}{3}=\frac{16}{3}$$
Точка локального минимума: $$(-1;-\frac{16}{3})$$, точка локального максимума: $$(3;\frac{16}{3}).$$
в) $$y=x^3+x^2-x-1$$
$$y’ = 3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)$$
$$y’=0 \iff x=-1,\; x=\frac{1}{3}$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac{1}{3};+\infty\right),\qquad y'<0 \text{ при } x\in\left(-1;\frac{1}{3}\right)$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup\left(\frac{1}{3};+\infty\right)$$ и убывает на $$\left[-1;\frac{1}{3}\right].$$
$$y(-1)=(-1)^3+(-1)^2-(-1)-1=0$$
$$y\left(\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^3+\left(\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{3}-1=-\frac{32}{27}$$
Точка локального максимума: $$(-1;0)$$, точка локального минимума: $$\left(\frac{1}{3};-\frac{32}{27}\right).$$
г) $$y=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+\frac{5}{3}$$
$$y’ = x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$$
$$y’=0 \iff x=-3,\; x=1$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty),\qquad y'<0 \text{ при } x\in[-3;1]$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-3)\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-3;1].$$
$$y(-3)=\frac{(-3)^3}{3}+(-3)^2-3(-3)+\frac{5}{3}=\frac{32}{3}$$
$$y(1)=\frac{1}{3}+1-3+\frac{5}{3}=0$$
Точка локального максимума: $$(-3;\frac{32}{3})$$, точка локального минимума: $$(1;0).$$
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;-1)\cup\left(\frac{4}{3};+\infty\right),$$ убывает на $$\left(-1;\frac{4}{3}\right);$$
максимум $$(-1;2),$$ минимум $$\left(\frac{4}{3};-\frac{257}{27}\right). б) возрастает на $$[-1;3],$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty);$$ минимум $$(-1;-\frac{16}{3}),$$ максимум $$(3;\frac{16}{3}).
в) возрастает на $$(-\infty;-1)\cup\left(\frac{1}{3};+\infty\right),$$ убывает на $$\left[-1;\frac{1}{3}\right];$$
максимум $$(-1;0),$$ минимум $$\left(\frac{1}{3};-\frac{32}{27}\right). г) возрастает на $$(-\infty;-3)\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-3;1];$$ максимум $$(-3;\frac{32}{3}),$$ минимум $$(1;0).
